Comment enlever une valeur absolue dans une fonction ?

Vous cherchez à écrire une fonction sans valeur absolue ? Vous n'êtes pas seul ! C'est une difficulté courante en mathématiques.

Pour supprimer le symbole de la valeur absolue efficacement, il faut d'abord comprendre ce qu'il représente : la distance à zéro sur une droite graduée. Par exemple, |-2| = 2 car -2 est à 2 unités de 0.

Comment écrire sans le symbole de la valeur absolue ?

Pour enlever la valeur absolue dans une fonction, voici la méthode infaillible en 3 étapes :

Étape 1 : Analyser ce qu'il y a dans la valeur absolue

  • Identifiez l'expression à l'intérieur des ||
  • Trouvez quand cette expression change de signe

Étape 2 : Diviser en deux cas

  • Si l'expression est positive → on garde la même expression
  • Si l'expression est négative → on change son signe

Étape 3 : Écrire la fonction par morceaux

On écrit la fonction différemment selon le signe

Exemple 1 : supprimer la valeur absolue d'une fonction simple

Prenons f(x) = |2x - 3|

1) On cherche où 2x - 3 change de signe :

  • 2x - 3 = 0
  • 2x = 3
  • x = 3/2

2) On distingue les deux cas :

Pour x < 3/2 : 2x - 3 est négatif
Pour x > 3/2 : 2x - 3 est positif

3) On écrit la fonction :

f(x) = {
-(2x - 3) = -2x + 3 si x < 3/2
2x - 3 si x ≥ 3/2
}

Exemple 2 : une fonction plus complexe

Soit g(x) = |3x + 1|

1) On cherche où 3x + 1 s'annule :

  • 3x + 1 = 0
  • x = -1/3

2) On fait un tableau de signes :

x        | -∞ -------- -1/3 -------- +∞
3x + 1 | - | +
g(x) | -3x - 1 | 3x + 1

Les erreurs à éviter absolument

  1. Ne pas oublier le changement de signe
    • Quand l'expression est négative, on multiplie par -1
    • |3x| = 3x si x ≥ 0, mais |3x| = -3x si x < 0
  2. Bien vérifier les inégalités
    • Faites attention aux ≤ et
    • Le point qui annule l'expression va généralement avec ≥
  3. Attention aux calculs
    • Vérifiez vos changements de signes
    • Un tableau de signes peut vous aider

Exercices d'entraînement

Exercice 1

Écrivez sans valeur absolue : f(x) = |x + 2|

Solution :

f(x) = {
-(x + 2) = -x - 2 si x < -2
x + 2 si x ≥ -2
}

Exercice 2

Écrivez sans valeur absolue : g(x) = |2x - 4|

Solution :

g(x) = {
-(2x - 4) = -2x + 4 si x < 2
2x - 4 si x ≥ 2
}

Conclusion : les points clés à retenir

Pour écrire une fonction sans valeur absolue, rappelez-vous :

  1. Trouvez le point où l'expression change de signe
  2. Divisez en deux cas
  3. Changez le signe quand l'expression est négative

La clé du succès ? La pratique ! Plus vous ferez d'exercices, plus ce sera naturel.

Vous avez une question sur comment enlever une valeur absolue ? Laissez un commentaire !

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