Comment enlever une valeur absolue dans une fonction ?

Vous cherchez à écrire une fonction sans valeur absolue ? Vous n'êtes pas seul ! C'est une difficulté courante en mathématiques.
Pour supprimer le symbole de la valeur absolue efficacement, il faut d'abord comprendre ce qu'il représente : la distance à zéro sur une droite graduée. Par exemple, |-2| = 2 car -2 est à 2 unités de 0.
Comment écrire sans le symbole de la valeur absolue ?
Pour enlever la valeur absolue dans une fonction, voici la méthode infaillible en 3 étapes :
Étape 1 : Analyser ce qu'il y a dans la valeur absolue
- Identifiez l'expression à l'intérieur des ||
- Trouvez quand cette expression change de signe
Étape 2 : Diviser en deux cas
- Si l'expression est positive → on garde la même expression
- Si l'expression est négative → on change son signe
Étape 3 : Écrire la fonction par morceaux
On écrit la fonction différemment selon le signe
Exemple 1 : supprimer la valeur absolue d'une fonction simple
Prenons f(x) = |2x - 3|
1) On cherche où 2x - 3 change de signe :
- 2x - 3 = 0
- 2x = 3
- x = 3/2
2) On distingue les deux cas :
Pour x < 3/2 : 2x - 3 est négatif
Pour x > 3/2 : 2x - 3 est positif
3) On écrit la fonction :
f(x) = {
-(2x - 3) = -2x + 3 si x < 3/2
2x - 3 si x ≥ 3/2
}
Exemple 2 : une fonction plus complexe
Soit g(x) = |3x + 1|
1) On cherche où 3x + 1 s'annule :
- 3x + 1 = 0
- x = -1/3
2) On fait un tableau de signes :
x | -∞ -------- -1/3 -------- +∞
3x + 1 | - | +
g(x) | -3x - 1 | 3x + 1
Les erreurs à éviter absolument
- Ne pas oublier le changement de signe
- Quand l'expression est négative, on multiplie par -1
- |3x| = 3x si x ≥ 0, mais |3x| = -3x si x < 0
- Bien vérifier les inégalités
- Faites attention aux ≤ et
- Le point qui annule l'expression va généralement avec ≥
- Attention aux calculs
- Vérifiez vos changements de signes
- Un tableau de signes peut vous aider
Exercices d'entraînement
Exercice 1
Écrivez sans valeur absolue : f(x) = |x + 2|
Solution :
f(x) = {
-(x + 2) = -x - 2 si x < -2
x + 2 si x ≥ -2
}
Exercice 2
Écrivez sans valeur absolue : g(x) = |2x - 4|
Solution :
g(x) = {
-(2x - 4) = -2x + 4 si x < 2
2x - 4 si x ≥ 2
}
Conclusion : les points clés à retenir
Pour écrire une fonction sans valeur absolue, rappelez-vous :
- Trouvez le point où l'expression change de signe
- Divisez en deux cas
- Changez le signe quand l'expression est négative
La clé du succès ? La pratique ! Plus vous ferez d'exercices, plus ce sera naturel.
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