Méthode 6 : Comparaison des nombres positifs

Pour comparer des nombres positifs, on peut utiliser les variations de la fonction racine carrée.

Exemple :

Soit à démontrer que : pour tout réel tel que .

On a donc car la fonction racine carrée est croissante

entraine que et donc ,

D’où et le résultat suit.

Propriété :

Pour tout de ,

Preuve

Soit .

Comme , , en multipliant cette dernière inéquation par ,

On obtient : c’est-à-dire

Comme la fonction racine carrée est croissante,

entraine que c’est-à-dire en multipliant cette dernière inéquation par on obtient .

On conclut que : pour tout de , .

Propriété :

Pour tout de ,

Preuve

Soit .

Comme , , en multipliant cette dernière inéquation par on obtient c’est-à-dire .

Comme la fonction racine carrée est croissante,

entraine que c’est-à-dire en multipliant cette dernière inéquation par on obtient .

On conclut que : pour tout de ,

(Ici, dans le but de familiariser l’élève à l’utilisation des propriétés de la racine carré)