Méthode pour calculer la norme d'un vecteur

La norme d'un vecteur, notée ||u⃗||, représente la longueur ou la "grandeur" du vecteur. C'est toujours un nombre positif ou nul.

Méthodes de calcul

1. Dans un repère orthonormé

Pour un vecteur u⃗(x ; y), la norme se calcule par la formule :

||u⃗|| = √(x² + y²)

Cette formule est une application du théorème de Pythagore.

2. À partir de deux points

Si le vecteur est défini par deux points A(xₐ ; yₐ) et B(xᵦ ; yᵦ), alors :

||AB⃗|| = √[(xᵦ - xₐ)² + (yᵦ - yₐ)²]

Exemple pratique

Calculons la norme du vecteur u⃗(3 ; 4)

  1. Application de la formule : ||u⃗|| = √(3² + 4²)
  2. Calcul : ||u⃗|| = √(9 + 16) ||u⃗|| = √25 ||u⃗|| = 5

Propriétés importantes

  1. Positivité :
    • ||u⃗|| ≥ 0
    • ||u⃗|| = 0 si et seulement si u⃗ est le vecteur nul
  2. Multiplication par un scalaire :
    • ||ku⃗|| = |k| × ||u⃗||
  3. Inégalité triangulaire :
    • ||u⃗ + v⃗|| ≤ ||u⃗|| + ||v⃗||

Applications

La norme d'un vecteur est utilisée pour :

  • Calculer des distances
  • Déterminer la vitesse d'un mobile
  • Mesurer l'intensité de forces en physique
  • Normaliser des vecteurs (obtenir des vecteurs unitaires)

Points à retenir

  1. La norme est toujours positive ou nulle
  2. Elle représente la longueur du vecteur
  3. Elle se calcule avec le théorème de Pythagore en 2D
  4. C'est un outil essentiel en physique et en mathématiques

Exercice type

Soit les points A(1 ; 2) et B(4 ; 6). Calculer ||AB⃗||.

Solution :

  1. Coordonnées du vecteur AB⃗ :
    • x = 4 - 1 = 3
    • y = 6 - 2 = 4
  2. Application de la formule : ||AB⃗|| = √(3² + 4²) ||AB⃗|| = √(9 + 16) ||AB⃗|| = √25 ||AB⃗|| = 5

La norme du vecteur AB⃗ est donc 5 unités.

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