Méthode pour calculer la norme d'un vecteur

La norme d'un vecteur, notée ||u⃗||, représente la longueur ou la "grandeur" du vecteur. C'est toujours un nombre positif ou nul.
Méthodes de calcul
1. Dans un repère orthonormé
Pour un vecteur u⃗(x ; y), la norme se calcule par la formule :
||u⃗|| = √(x² + y²)
Cette formule est une application du théorème de Pythagore.
2. À partir de deux points
Si le vecteur est défini par deux points A(xₐ ; yₐ) et B(xᵦ ; yᵦ), alors :
||AB⃗|| = √[(xᵦ - xₐ)² + (yᵦ - yₐ)²]
Exemple pratique
Calculons la norme du vecteur u⃗(3 ; 4)
- Application de la formule : ||u⃗|| = √(3² + 4²)
- Calcul : ||u⃗|| = √(9 + 16) ||u⃗|| = √25 ||u⃗|| = 5
Propriétés importantes
- Positivité :
- ||u⃗|| ≥ 0
- ||u⃗|| = 0 si et seulement si u⃗ est le vecteur nul
- Multiplication par un scalaire :
- ||ku⃗|| = |k| × ||u⃗||
- Inégalité triangulaire :
- ||u⃗ + v⃗|| ≤ ||u⃗|| + ||v⃗||
Applications
La norme d'un vecteur est utilisée pour :
- Calculer des distances
- Déterminer la vitesse d'un mobile
- Mesurer l'intensité de forces en physique
- Normaliser des vecteurs (obtenir des vecteurs unitaires)
Points à retenir
- La norme est toujours positive ou nulle
- Elle représente la longueur du vecteur
- Elle se calcule avec le théorème de Pythagore en 2D
- C'est un outil essentiel en physique et en mathématiques
Exercice type
Soit les points A(1 ; 2) et B(4 ; 6). Calculer ||AB⃗||.
Solution :
- Coordonnées du vecteur AB⃗ :
- x = 4 - 1 = 3
- y = 6 - 2 = 4
- Application de la formule : ||AB⃗|| = √(3² + 4²) ||AB⃗|| = √(9 + 16) ||AB⃗|| = √25 ||AB⃗|| = 5
La norme du vecteur AB⃗ est donc 5 unités.
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