Méthode 3 – Résolution d’inéquation produit ou quotient

Prenons l’exemple de l’inéquation suivante :

Si on développe cette expression on ne se retrouve pas qu’avec des termes du premier degré, on ne peut résoudre cette inéquation aussi simplement que dans la méthode 1.

La résolution de ce type d’équation se fait en différentes étapes :

1. Regrouper tous les termes à gauche de l’inéquation pour n’avoir qu’un zéro à droite.
2. Mettre tous les termes sous le même dénominateur si présence d’une fraction.
3. Factoriser le numérateur et le dénominateur si possible pour n’avoir que des produits de facteurs.
4. Déterminer toutes les valeurs qui annulent chaque facteur au numérateur ainsi que les valeurs interdites qui annulent le dénominateur.
5. Tracer le tableau de variation avec  variant de  à  et y placer toutes les valeurs qui annulent les facteurs.
6. Faire une ligne pour chaque facteur et ajouter un zéro sur l’entre colonnes aux valeurs pour lesquelles ces facteurs s’annulent.
7. Mettre une double barre à l’entre colonnes aux valeurs interdites.
8. Etudier les signes de chaque facteur en y plaçant les « + » et « – » adéquats.
9. Remplir la dernière ligne correspondant à l’expression globale de la formule située à gauche de l’inéquation. Sur la dernière ligne, projeter tous les zéros des autres lignes et remplacer les zéros par une double barre quand il s’agit d’un facteur au dénominateur.
10. Compléter la dernière ligne en appliquant la règle des signes colonne par colonne.
11. Conclure sur la solution de l’inéquation.

Résolvons à présent notre équation en suivant les étapes.

Etape 1

Résoudre revient à résoudre .

On pose .

On cherche donc les réels  qui vérifient .

Pour cela il convient d’étudier le signe de  sur pour trouver les réels pour lesquels elle est négative.

On réarrange de façon à n’avoir que des produits ou quotients de facteurs.

Etape 2

Etape 3

Etape 4

s’annule pour .

s’annule pour .

La détermination des valeurs interdites se fait avec les facteurs en dénominateur :

s’annule pour . 

est donc une valeur interdite.

Etape 5 à 10

Etape 11

Nous avons vu que résoudre revenait à résoudre .

Or d’après la dernière ligne du tableau  est strictement négative sur .