Définition et propriétés
Définition :
Résoudre une inéquation consiste à trouver tous les réels 
qui vérifient l’inégalité donnée. En général, plusieurs réels sont solutions. La solution s’exprime alors sous forme d’intervalle ou d’une union d’intervalles.
Remarque :
Les bornes des intervalles de solutions sont ouvertes sur les infinies, les valeurs interdites, lorsque les inégalités sont strictes et ouvertes dans tous les autres cas.
Propriétés :
- L’addition ou la soustraction d’un même nombre aux deux membres d’une inéquation donne une inéquation équivalente (solutions de l’équation inchangées).
- La multiplication ou la division par un même nombre strictement positif aux deux membres d’une inéquation donne une inéquation équivalente.
- La multiplication ou la division par un même nombre strictement négatif aux deux membres d’une inéquation donne une inéquation équivalente si et seulement si on change le sens de l’inégalité.
Exemple :
Prenons l’exemple de l’inéquation suivante :
Pour isoler et résoudre l’inéquation il convient ici de soustraire par 
puis de diviser par 
.
La soustraction par un nombre négatif ne change pas le sens de l’inégalité :
La division par un nombre négatif change l’inégalité :
Ainsi les solutions vérifiant l’inégalité sont tous les rées 
.
Signe de 
Soit la fonction affine 
définit sur 
par 
.
Théorème :
Le signe de la droite représentative dépend du signe de 
:
- si
, alors elle est strictement négative sur 
et strictement positive sur 
. - si
, alors elle est strictement positive sur et strictement négative sur .
On représente le signe dans un tableau de signe en indiquant par un signe 
lorsque la fonction est positive et par un 
lorsqu’elle est négative.
On place un 
là où la fonction s’annule soit en 
.
L’astuce est ensuite de mettre le signe de à droite du et le signe opposé à gauche.
Cas 
:
Cas 
:
Tableaux de signes
Propriété :
Certaines équations plus complexes peuvent s’exprimer sous forme d’un produit ou quotient de facteurs inférieur ou supérieur à zéro. Ces facteurs sont alors des expressions plus simples telles que des fonctions affines dont on peut déterminer le signe. Il convient alors de réaliser un tableau de signe avec une ligne pour chaque facteur et une ligne (la dernière) pour l’expression global.
On étudie le signe de chaque facteur et on met les signes 
ou associés dans leur ligne.
Le signe global du produit ou quotient de facteurs (dernière ligne du tableau) se déduit colonne par colonne selon la règle suivante :
- Si le nombre de signe dans la colonne est pair alors le signe de l’expression global dans l’intervalle correspondant est positif.
- Si le nombre de signe est impair alors le signe de l’expression global dans l’intervalle correspondant à la colonne est négatif.
