Dérivée de ln(u) : Méthode et applications

Théorème fondamental

Soit u une fonction qui vérifie deux conditions :

  1. Dérivable sur son domaine de définition
  2. Strictement positive sur son domaine de définition

Alors la fonction ln(u) est :

  • Dérivable sur le même domaine
  • Sa dérivée est : [ln(u)]' = u'/u

Formule à retenir

Copy[ln(u(x))]' = u'(x)/u(x)

Applications pratiques

Exemple 1 : Fonction simple

Pour f(x) = ln(x²)

  • u(x) = x²
  • u'(x) = 2x
  • Donc f'(x) = 2x/x² = 2/x

Exemple 2 : Fonction composée

Pour f(x) = ln(3x + 1)

  • u(x) = 3x + 1
  • u'(x) = 3
  • Donc f'(x) = 3/(3x + 1)

Méthode pas à pas

  1. Identifier la fonction u
    • Repérer ce qui est à l'intérieur du ln
  2. Vérifier les conditions
    • La fonction u doit être dérivable
    • La fonction u doit être strictement positive
  3. Calculer u'
    • Dériver la fonction intérieure
  4. Appliquer la formule
    • Écrire u'/u

Points importants à noter

  1. Domaine de définition
    • ln(u) n'est défini que si u est strictement positif
    • Penser à vérifier ce domaine
  2. Cas particuliers
    • ln(ex) → dérivée = 1
    • ln(x) → dérivée = 1/x
  3. Erreurs courantes à éviter
    • Ne pas oublier le quotient
    • Bien dériver la fonction u
    • Vérifier le domaine de définition

Exercice type

Énoncé

Calculer la dérivée de f(x) = ln(x² + 1)

Solution

  1. Identification :
    • u(x) = x² + 1
    • u est dérivable sur ℝ
    • u est strictement positive sur ℝ
  2. Calcul :
    • u'(x) = 2x
    • f'(x) = 2x/(x² + 1)

Comment s'en servir ?

Cette formule est utile pour :

  • Calculer des dérivées
  • Étudier des variations
  • Résoudre des équations différentielles
  • Déterminer des extremums

Pour aller plus loin

Cette formule se combine avec :

  • Les règles de dérivation usuelles
  • La composition de fonctions
  • Les études de fonctions

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