Dérivée de ln(u) : Méthode et applications

Théorème fondamental
Soit u une fonction qui vérifie deux conditions :
- Dérivable sur son domaine de définition
- Strictement positive sur son domaine de définition
Alors la fonction ln(u) est :
- Dérivable sur le même domaine
- Sa dérivée est : [ln(u)]' = u'/u
Formule à retenir
Copy[ln(u(x))]' = u'(x)/u(x)
Applications pratiques
Exemple 1 : Fonction simple
Pour f(x) = ln(x²)
- u(x) = x²
- u'(x) = 2x
- Donc f'(x) = 2x/x² = 2/x
Exemple 2 : Fonction composée
Pour f(x) = ln(3x + 1)
- u(x) = 3x + 1
- u'(x) = 3
- Donc f'(x) = 3/(3x + 1)
Méthode pas à pas
- Identifier la fonction u
- Repérer ce qui est à l'intérieur du ln
- Vérifier les conditions
- La fonction u doit être dérivable
- La fonction u doit être strictement positive
- Calculer u'
- Dériver la fonction intérieure
- Appliquer la formule
- Écrire u'/u
Points importants à noter
- Domaine de définition
- ln(u) n'est défini que si u est strictement positif
- Penser à vérifier ce domaine
- Cas particuliers
- ln(ex) → dérivée = 1
- ln(x) → dérivée = 1/x
- Erreurs courantes à éviter
- Ne pas oublier le quotient
- Bien dériver la fonction u
- Vérifier le domaine de définition
Exercice type
Énoncé
Calculer la dérivée de f(x) = ln(x² + 1)
Solution
- Identification :
- u(x) = x² + 1
- u est dérivable sur ℝ
- u est strictement positive sur ℝ
- Calcul :
- u'(x) = 2x
- f'(x) = 2x/(x² + 1)
Comment s'en servir ?
Cette formule est utile pour :
- Calculer des dérivées
- Étudier des variations
- Résoudre des équations différentielles
- Déterminer des extremums
Pour aller plus loin
Cette formule se combine avec :
- Les règles de dérivation usuelles
- La composition de fonctions
- Les études de fonctions
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