Méthode pour étudier la position relative d'un plan et d'une droite

Position relative d'un plan et d'une droite

Éléments clés

Pour étudier la position relative, on considère :

  • Un plan P
  • Une droite D
  • Un vecteur normal n⃗ au plan
  • Un vecteur directeur v⃗ de la droite

Cas possibles

  1. Si v⃗ et n⃗ ne sont pas orthogonaux :
    • Le plan P et la droite D sont sécants
    • Il existe un unique point d'intersection
  2. Si v⃗ et n⃗ sont orthogonaux : Deux sous-cas :
    • Si un point de D appartient à P :
      • La droite D est contenue dans le plan P
    • Si aucun point de D n'appartient à P :
      • D et P sont strictement parallèles

Astuce importante

Si v⃗ et n⃗ sont colinéaires, alors v⃗ · n⃗ = 0

Application pratique

Méthode de résolution

  1. Identifier le vecteur normal au plan n⃗
  2. Identifier le vecteur directeur de la droite v⃗
  3. Calculer le produit scalaire v⃗ · n⃗
  4. Selon le résultat :
    • Si v⃗ · n⃗ ≠ 0 : sécants
    • Si v⃗ · n⃗ = 0 : vérifier la position d'un point

Pour trouver le point d'intersection

Si les éléments sont sécants :

  1. Utiliser l'équation paramétrique de la droite
  2. Injecter dans l'équation du plan
  3. Résoudre l'équation obtenue

Exemple concret

Cas d'une droite sécante

Pour une droite D : (x,y,z) = (1,2,3) + t(2,1,-1) Et un plan P : 2x - y + 3z = 4

  1. Vecteur normal du plan : n⃗(2,-1,3)
  2. Vecteur directeur de la droite : v⃗(2,1,-1)
  3. v⃗ · n⃗ = 4 - 1 - 3 = 0
  4. Les éléments sont sécants

Points à retenir

  • La position relative dépend de l'orthogonalité des vecteurs
  • L'appartenance d'un point est décisive dans le cas orthogonal
  • Le produit scalaire est l'outil principal d'analyse

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