Méthode pour étudier la position relative d'un plan et d'une droite

Position relative d'un plan et d'une droite
Éléments clés
Pour étudier la position relative, on considère :
- Un plan P
- Une droite D
- Un vecteur normal n⃗ au plan
- Un vecteur directeur v⃗ de la droite
Cas possibles
- Si v⃗ et n⃗ ne sont pas orthogonaux :
- Le plan P et la droite D sont sécants
- Il existe un unique point d'intersection
- Si v⃗ et n⃗ sont orthogonaux : Deux sous-cas :
- Si un point de D appartient à P :
- La droite D est contenue dans le plan P
- Si aucun point de D n'appartient à P :
- D et P sont strictement parallèles
- Si un point de D appartient à P :
Astuce importante
Si v⃗ et n⃗ sont colinéaires, alors v⃗ · n⃗ = 0
Application pratique
Méthode de résolution
- Identifier le vecteur normal au plan n⃗
- Identifier le vecteur directeur de la droite v⃗
- Calculer le produit scalaire v⃗ · n⃗
- Selon le résultat :
- Si v⃗ · n⃗ ≠ 0 : sécants
- Si v⃗ · n⃗ = 0 : vérifier la position d'un point
Pour trouver le point d'intersection
Si les éléments sont sécants :
- Utiliser l'équation paramétrique de la droite
- Injecter dans l'équation du plan
- Résoudre l'équation obtenue
Exemple concret
Cas d'une droite sécante
Pour une droite D : (x,y,z) = (1,2,3) + t(2,1,-1) Et un plan P : 2x - y + 3z = 4
- Vecteur normal du plan : n⃗(2,-1,3)
- Vecteur directeur de la droite : v⃗(2,1,-1)
- v⃗ · n⃗ = 4 - 1 - 3 = 0
- Les éléments sont sécants
Points à retenir
- La position relative dépend de l'orthogonalité des vecteurs
- L'appartenance d'un point est décisive dans le cas orthogonal
- Le produit scalaire est l'outil principal d'analyse
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