Le centre de symétrie d'une fonction : exercice corrigé

Avant de résoudre l'exercice, rappelons qu'un point S est centre de symétrie d'une courbe si, en "retournant" la courbe autour de ce point, on retrouve exactement la même courbe.

Exercice : fonction et centre de symétrie

On considère la fonction f définie par : f(x) = x³ - 3x

Questions :

  1. Déterminer deux réels a et b tels que pour tout x, f(-x) = -(ax + b)
  2. En déduire les variations de la fonction
  3. Montrer que le point O(0,0) est centre de symétrie de la courbe de f

Solution détaillée

1. Calcul de f(-x)

Méthode :

  1. Remplaçons x par -x dans l'expression de f(x)
  2. Développons et simplifions

Calcul :

f(-x) = (-x)³ - 3(-x)
= -x³ + 3x
= -(x³ - 3x)
= -f(x)

Donc a = 1 et b = 0 car f(-x) = -f(x)

2. Variations de la fonction

Pour étudier les variations :

  1. Calculons f'(x) f'(x) = 3x² - 3 f'(x) = 3(x² - 1)
  2. Tableau de signes de f'(x) : x | -∞ --- -1 --- 1 --- +∞ f'(x) | - | + | - f(x) | \ / \

3. Centre de symétrie

Pour montrer que O(0,0) est centre de symétrie :

  1. Nous avons montré que f(-x) = -f(x)
  2. Cela signifie que pour tout point M(x, f(x)) de la courbe :
    • Son symétrique par rapport à O est M'(-x, -f(x))
    • Ce point appartient aussi à la courbe car f(-x) = -f(x)

Donc O(0,0) est bien centre de symétrie.

Les points clés à retenir

  1. Pour prouver qu'un point est centre de symétrie :
    • Montrer que f(-x) = -f(x) pour O(0,0)
    • Ou que f(x-a) = -f(x) + b pour un point S(a,b)
  2. Vérifier que :
    • La courbe se superpose à elle-même par rotation de 180°
    • Tout point M a son symétrique M' sur la courbe

Exercice d'entraînement : à vous de jouer !

Soit la fonction g définie par : g(x) = x³ - 2x² + x

  1. Déterminez les réels a et b tels que pour tout x, g(-x) = -(ax + b)
  2. En déduire si O(0,0) est centre de symétrie de la courbe
  3. Tracez la courbe pour vérifier votre résultat

Conseils pour résoudre l'exercice :

  • Commencez par calculer g(-x)
  • Développez soigneusement
  • Comparez avec -g(x)
  • Vous pouvez vérifier graphiquement

Vous voulez la correction ? Demandez-la en commentaire !

C'est un bon exercice pour s'entraîner car il fait travailler :

  • Le calcul algébrique
  • La compréhension de la symétrie centrale
  • La vérification graphique]

Pour être sûr de ne pas avoir fait d'erreur, posez-vous ces questions :

  • Ai-je bien développé g(-x) ?
  • Ai-je correctement comparé avec -g(x) ?
  • Ma conclusion est-elle cohérente avec un tracé rapide de la courbe ?

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