Le centre de symétrie d'une fonction : exercice corrigé

Avant de résoudre l'exercice, rappelons qu'un point S est centre de symétrie d'une courbe si, en "retournant" la courbe autour de ce point, on retrouve exactement la même courbe.
Exercice : fonction et centre de symétrie
On considère la fonction f définie par : f(x) = x³ - 3x
Questions :
- Déterminer deux réels a et b tels que pour tout x, f(-x) = -(ax + b)
- En déduire les variations de la fonction
- Montrer que le point O(0,0) est centre de symétrie de la courbe de f
Solution détaillée
1. Calcul de f(-x)
Méthode :
- Remplaçons x par -x dans l'expression de f(x)
- Développons et simplifions
Calcul :
f(-x) = (-x)³ - 3(-x)
= -x³ + 3x
= -(x³ - 3x)
= -f(x)
Donc a = 1 et b = 0 car f(-x) = -f(x)
2. Variations de la fonction
Pour étudier les variations :
- Calculons f'(x)
f'(x) = 3x² - 3 f'(x) = 3(x² - 1)
- Tableau de signes de f'(x) :
x | -∞ --- -1 --- 1 --- +∞ f'(x) | - | + | - f(x) | \ / \
3. Centre de symétrie
Pour montrer que O(0,0) est centre de symétrie :
- Nous avons montré que f(-x) = -f(x)
- Cela signifie que pour tout point M(x, f(x)) de la courbe :
- Son symétrique par rapport à O est M'(-x, -f(x))
- Ce point appartient aussi à la courbe car f(-x) = -f(x)
Donc O(0,0) est bien centre de symétrie.
Les points clés à retenir
- Pour prouver qu'un point est centre de symétrie :
- Montrer que f(-x) = -f(x) pour O(0,0)
- Ou que f(x-a) = -f(x) + b pour un point S(a,b)
- Vérifier que :
- La courbe se superpose à elle-même par rotation de 180°
- Tout point M a son symétrique M' sur la courbe
Exercice d'entraînement : à vous de jouer !
Soit la fonction g définie par : g(x) = x³ - 2x² + x
- Déterminez les réels a et b tels que pour tout x, g(-x) = -(ax + b)
- En déduire si O(0,0) est centre de symétrie de la courbe
- Tracez la courbe pour vérifier votre résultat
Conseils pour résoudre l'exercice :
- Commencez par calculer g(-x)
- Développez soigneusement
- Comparez avec -g(x)
- Vous pouvez vérifier graphiquement
Vous voulez la correction ? Demandez-la en commentaire !
C'est un bon exercice pour s'entraîner car il fait travailler :
- Le calcul algébrique
- La compréhension de la symétrie centrale
- La vérification graphique]
Pour être sûr de ne pas avoir fait d'erreur, posez-vous ces questions :
- Ai-je bien développé g(-x) ?
- Ai-je correctement comparé avec -g(x) ?
- Ma conclusion est-elle cohérente avec un tracé rapide de la courbe ?
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