Comment identifier si des points sont alignés et coplanaires ?

En géométrie dans l'espace, déterminer si des points sont alignés ou coplanaires peut sembler complexe. Pourtant, avec les vecteurs et une méthode structurée, ces exercices deviennent accessibles. Dans ce guide, vous découvrirez les techniques essentielles pour :

  • Vérifier l'alignement de points
  • Trouver des coordonnées spécifiques
  • Prouver la coplanarité

Comprendre l'objectif de l'exercice

Dans la géométrie dans l'espace, deux questions reviennent souvent :

  1. Comment savoir si des points sont alignés ?
  2. Comment vérifier si des points sont coplanaires ?

On va résoudre ces questions avec un exemple concret.

Les points à étudier : position dans l'espace

Dans un repère, on nous donne 4 points :

A(1, 2, -1)
B(3, 0, 2)
C(2, -1, 1)
D(k, 1, m) // k et m sont à déterminer

Vérification de l'alignement : première étape

Pour savoir si A, B et C sont alignés :

Pourquoi on vérifie l'alignement ?

  • Si des points sont alignés, ils forment une droite
  • Cette information est essentielle pour la suite

Comment vérifier ?

  1. On prend deux vecteurs : AB et AC
  2. Si les points sont alignés, ces vecteurs doivent être colinéaires

Calcul des vecteurs :

AB = B - A = (2, -2, 3)
AC = C - A = (1, -3, 2)

Vérification :

  • Pour être colinéaires, les composantes doivent être proportionnelles
  • Ici : 2/-2 ≠ 1/-3 ≠ 3/2
  • Donc : les points ne sont pas alignés !

Recherche des valeurs k et m : deuxième étape

On veut que AB et AD soient colinéaires.

Méthode :

  1. Calculer AD : (k-1, -1, m+1)
  2. Écrire les proportions avec AB : k-1/2 = -1/-2 = (m+1)/3
  3. Résoudre : k-1 = 2 donc k = 3 m+1 = 3 donc m = 2

Test de coplanarité : dernière étape

Comment savoir si les points sont coplanaires ?

  • Il faut que AD s'exprime avec AB et AC
  • On cherche : AD = αAB + βAC (α et β sont des nombres)

Résolution :

  1. On remplace les valeurs trouvées
  2. On vérifie : AD = 2AB - AC
  3. C'est possible ! Donc les points sont coplanaires

En résumé : ce qu'il faut retenir

  • Points alignés → vecteurs colinéaires
  • Colinéarité → proportions égales
  • Coplanarité → combinaison linéaire possible

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