Symétrie Centrale 5ème : cours Complet + 5 exercices corrigés

Comprendre et maîtriser la symétrie centrale avec explications et 5 exercices corrigés

🔄 Comprendre la Symétrie Centrale en 5ème

La symétrie centrale est une transformation géométrique fondamentale étudiée en classe de 5ème. Elle permet de construire la figure symétrique d'une autre par rapport à un point appelé centre de symétrie. Cette notion prolonge la symétrie axiale vue en 6ème et introduit l'idée de rotation d'un demi-tour. Maîtriser la symétrie centrale est essentiel pour comprendre les transformations géométriques et développer son raisonnement spatial.

📖 Définition de la Symétrie Centrale

Deux figures sont symétriques par rapport à un point O (appelé centre de symétrie) si elles se superposent après un demi-tour (rotation de 180°) autour de ce point O.

Plus précisément : Le symétrique d'un point M par rapport à un point O est le point M' tel que O est le milieu du segment [MM'].

🎯 Principe fondamental

Imaginez que vous faites faire un demi-tour à une figure autour d'un point fixe (comme une toupie). La figure obtenue est le symétrique de la figure d'origine.

Exemple concret : Si vous retournez votre feuille en la faisant pivoter d'un demi-tour autour d'un point marqué, les dessins de chaque côté seront symétriques par rapport à ce point.

✨ Propriétés de la Symétrie Centrale

1. Conservation des distances : Si deux points sont à 5 cm l'un de l'autre, leurs symétriques sont aussi à 5 cm l'un de l'autre.

2. Conservation des angles : Un angle de 60° reste un angle de 60° après symétrie centrale.

3. Conservation de l'alignement : Si trois points sont alignés, leurs symétriques le sont aussi.

4. Conservation des aires : Une figure et son symétrique ont la même aire.

5. Le centre de symétrie : Le centre O est son propre symétrique (O' = O).

6. Retournement : Contrairement à la symétrie axiale, la symétrique centrale "retourne" la figure (comme si on la regardait de l'autre côté).

🔧 Comment construire le symétrique d'un point ?

Méthode 1 - Avec le compas :

1. Tracer la droite (OM)

2. Placer la pointe du compas en O

3. Prendre pour écartement la longueur OM

4. Tracer un arc de cercle de l'autre côté de O

5. Le point M' est sur cet arc, aligné avec O et M

Méthode 2 - Avec la règle graduée :

1. Mesurer la distance OM

2. Reporter cette même distance de l'autre côté de O sur la droite (OM)

3. On obtient M' tel que OM' = OM

Vérification : O doit être au milieu de [MM']

Ne confondez pas symétrie centrale et symétrie axiale ! Dans la symétrie axiale, on "plie" autour d'une droite (axe). Dans la symétrie centrale, on "fait pivoter" d'un demi-tour autour d'un point (centre).

Construire le symétrique d'un point

Facile

📐 Construction

On donne un point O et un point A.

On veut construire A', le symétrique de A par rapport à O.

Question : Décrire précisément les étapes de construction avec le compas.

Correction détaillée

Construction avec le compas

Étape 1 : Tracer la droite (OA)

• Placer la règle pour relier O et A
• Tracer la droite passant par ces deux points
• Prolonger la droite au-delà de O

Étape 2 : Reporter la distance OA

• Placer la pointe sèche du compas sur O
• Écarter le compas jusqu'au point A (écartement = OA)
• Ne pas modifier l'écartement

Étape 3 : Tracer l'arc de cercle

• Maintenir la pointe en O
• Tracer un arc de cercle de l'autre côté de O
• L'arc coupe la droite (OA) en un point

Étape 4 : Placer A'

• Le point d'intersection entre l'arc et la droite est A'
• Vérifier : O est au milieu de [AA']
• Vérifier : OA = OA'

✅ A' est construit : O est le milieu de [AA']

Le compas permet une construction précise car il garantit que OA = OA'. Si vous utilisez une règle graduée, mesurez OA puis reportez exactement la même longueur de l'autre côté de O.

Symétrique d'un segment

Facile

📐 Segment AB

On donne un segment [AB] et un point O (centre de symétrie).

Le segment [AB] mesure 6 cm.

a) Construire A' et B', les symétriques de A et B par rapport à O.

b) Quelle est la longueur du segment [A'B'] ? Justifier.

c) Les segments [AB] et [A'B'] sont-ils parallèles ? Pourquoi ?

Correction détaillée

a) Construction de A' et B'

Pour construire A' :

1. Tracer la droite (OA)
2. Placer le compas sur O avec écartement OA
3. Reporter de l'autre côté de O → point A'

Pour construire B' :

1. Tracer la droite (OB)
2. Placer le compas sur O avec écartement OB
3. Reporter de l'autre côté de O → point B'

Tracer [A'B'] : Relier A' et B' pour obtenir le segment symétrique.

b) Longueur de [A'B']

📝 Propriété utilisée

La symétrie centrale conserve les distances.

Si AB = 6 cm, alors A'B' = 6 cm

Justification :
• La symétrie centrale conserve les longueurs
• Donc A'B' = AB
• A'B' = 6 cm

c) Segments parallèles ?

Non, les segments [AB] et [A'B'] ne sont pas nécessairement parallèles.

Explication :
• La symétrie centrale ne conserve pas le parallélisme
avec les segments qui ne passent pas par le centre
• Les segments peuvent être dans des directions différentes
• Exception : si O est sur le segment [AB], alors ils sont confondus

Dans une symétrie axiale, les segments parallèles à l'axe restent parallèles. Ce n'est PAS le cas en symétrie centrale (sauf cas particuliers).

✅ Réponses : b) A'B' = 6 cm | c) Non, pas nécessairement parallèles

La symétrie centrale conserve les longueurs et les angles, mais pas le parallélisme (sauf cas particuliers). C'est une différence importante avec la symétrie axiale !

Symétrique d'un triangle

Moyen

📐 Triangle ABC

On donne un triangle ABC avec :

• AB = 5 cm

• BC = 4 cm

• Angle ABC = 70°

On donne aussi un point O (centre de symétrie).

a) Construire A'B'C', le symétrique du triangle ABC par rapport à O.

b) Quelles sont les mesures de A'B', B'C' et de l'angle A'B'C' ? Justifier.

c) Les triangles ABC et A'B'C' ont-ils la même aire ? Pourquoi ?

Correction détaillée

a) Construction du triangle A'B'C'

📝 Méthode

Pour construire le symétrique d'un polygone, il suffit de construire le symétrique de chaque sommet, puis de les relier.

Étape 1 : Construire A'
• Tracer (OA) et reporter OA de l'autre côté de O

Étape 2 : Construire B'
• Tracer (OB) et reporter OB de l'autre côté de O

Étape 3 : Construire C'
• Tracer (OC) et reporter OC de l'autre côté de O

Étape 4 : Tracer le triangle
• Relier A', B' et C' pour former le triangle A'B'C'

b) Mesures du triangle A'B'C'

📝 Propriétés conservées

La symétrie centrale conserve :

• Les longueurs

• Les angles

Longueur A'B' :
• La symétrie conserve les distances
• Donc A'B' = AB = 5 cm

Longueur B'C' :
• De même, B'C' = BC = 4 cm

Angle A'B'C' :
• La symétrie conserve les angles
• Donc angle A'B'C' = angle ABC = 70°

Justification : Les propriétés de conservation de la symétrie centrale garantissent que le triangle symétrique a les mêmes dimensions.

c) Comparaison des aires

Oui, les deux triangles ont la même aire.

Justification :
• La symétrie centrale conserve les aires
• Les deux triangles ont les mêmes dimensions
• Donc ils ont la même aire

Aire(ABC) = Aire(A'B'C')

📝 Généralisation

Toute figure et son symétrique par symétrie centrale ont la même aire. C'est une propriété fondamentale de cette transformation.

✅ Réponses : b) A'B'=5cm, B'C'=4cm, angle=70° | c) Oui, même aire

Pour construire le symétrique d'un polygone, construisez le symétrique de chaque sommet, puis reliez-les dans le même ordre. Le polygone symétrique aura exactement les mêmes dimensions !

Centre de symétrie d'une figure

Moyen

On dit qu'une figure possède un centre de symétrie si elle est son propre symétrique par rapport à ce point.

Questions :

a) Un cercle possède-t-il un centre de symétrie ? Si oui, lequel ?

b) Un rectangle possède-t-il un centre de symétrie ? Si oui, où est-il situé ?

c) Un triangle équilatéral possède-t-il un centre de symétrie ?

d) Parmi les lettres de l'alphabet (en majuscules), lesquelles possèdent un centre de symétrie ?

Correction détaillée

a) Centre de symétrie d'un cercle

Oui, un cercle possède un centre de symétrie : son centre.

Justification :
• Si on fait un demi-tour autour du centre du cercle,
chaque point du cercle vient en un autre point du cercle
• Le cercle se superpose parfaitement à lui-même
• Le centre du cercle est donc son centre de symétrie

b) Centre de symétrie d'un rectangle

Oui, un rectangle possède un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales.

Explication :
• Les diagonales d'un rectangle se coupent en leur milieu
• Ce point d'intersection est le centre de symétrie
• Un demi-tour autour de ce point fait se superposer
le rectangle à lui-même

Vérification : Chaque sommet a son symétrique qui est le sommet opposé.

c) Centre de symétrie d'un triangle équilatéral

Non, un triangle équilatéral ne possède PAS de centre de symétrie.

Justification :
• Si on fait un demi-tour autour de n'importe quel point,
le triangle ne se superpose pas à lui-même
• Un triangle équilatéral a 3 axes de symétrie axiale,
mais aucun centre de symétrie
• Exception : tout triangle (même équilatéral) a un centre
de gravité, mais ce n'est pas un centre de symétrie

d) Lettres avec centre de symétrie

Lettres majuscules possédant un centre de symétrie :

H : le centre est au milieu de la barre horizontale
I : le centre est au milieu de la lettre
N : le centre est au milieu de la diagonale
O : le centre est au centre du O
S : le centre est au milieu de la lettre
X : le centre est au croisement des deux barres
Z : le centre est au milieu de la barre horizontale centrale

Test : Pour vérifier, retournez votre feuille d'un demi-tour autour du centre supposé. Si la lettre a la même apparence, c'est qu'elle possède un centre de symétrie !

✅ Réponses : a) Oui (centre du cercle) | b) Oui (intersection diagonales) | c) Non | d) H, I, N, O, S, X, Z

Pour savoir si une figure a un centre de symétrie, imaginez-la imprimée sur un transparent. Piquez une aiguille en un point et tournez d'un demi-tour. Si la figure se superpose exactement, ce point est un centre de symétrie !

Problème de construction

Difficile

📐 Situation

On donne :

• Un point O (centre de symétrie)

• Un point A' (symétrique de A par rapport à O)

• Un point B' (symétrique de B par rapport à O)

Mais on ne connaît pas la position de A et B !

Questions :

a) Comment retrouver la position du point A à partir de A' et O ?

b) Si A'B' = 7 cm, quelle est la longueur AB ?

c) Si on connaît le symétrique de tous les sommets d'un carré, peut-on retrouver le carré d'origine ? Expliquer.

Correction détaillée

a) Retrouver A à partir de A' et O

📝 Propriété de réciprocité

La symétrie centrale est réciproque : si A' est le symétrique de A par rapport à O, alors A est le symétrique de A' par rapport à O.

Méthode pour retrouver A :

1. Tracer la droite (OA')
2. Placer le compas sur O avec écartement OA'
3. Reporter cette distance de l'autre côté de O
4. Le point obtenu est A

A est le symétrique de A' par rapport à O

Vérification : O doit être le milieu de [AA']

b) Longueur AB

Raisonnement :
• La symétrie centrale conserve les longueurs
• Si A'B' = 7 cm
• Alors AB = 7 cm

Réponse : AB = 7 cm

Important : Cette propriété est vraie dans les deux sens. Le segment [AB] et son symétrique [A'B'] ont toujours la même longueur.

c) Retrouver le carré d'origine

Oui, on peut retrouver le carré d'origine.

Méthode :

1. On a les 4 sommets du carré symétrique : A', B', C', D'

2. Pour chaque sommet, on applique la symétrie centrale
par rapport à O pour retrouver le sommet original :
• A est le symétrique de A' par rapport à O
• B est le symétrique de B' par rapport à O
• C est le symétrique de C' par rapport à O
• D est le symétrique de D' par rapport à O

3. On relie A, B, C, D pour obtenir le carré d'origine

📝 Principe général

Si on connaît une figure et son centre de symétrie, on peut toujours retrouver la figure d'origine en "inversant" la symétrie. C'est ce qu'on appelle la réciproque de la transformation.

Propriétés conservées :

• Le carré d'origine aura les mêmes dimensions que le carré symétrique

• Même aire, mêmes angles droits, mêmes côtés

✅ Réponses : a) Symétrie réciproque | b) AB = 7 cm | c) Oui, par symétrie réciproque

La symétrie centrale est sa propre réciproque ! Si vous appliquez deux fois la symétrie centrale par rapport au même point O, vous retrouvez la figure de départ. C'est une propriété très utile en géométrie.

📚 Points clés à retenir sur la symétrie centrale

Définition : Le symétrique de M par rapport à O est M' tel que O est le milieu de [MM']
Demi-tour : La symétrie centrale correspond à une rotation de 180° autour du centre
Conservation des longueurs : Si AB = 5 cm, alors A'B' = 5 cm
Conservation des angles : Les angles gardent la même mesure
Conservation des aires : Une figure et son symétrique ont la même aire
Conservation de l'alignement : Trois points alignés donnent trois points alignés
Le centre : Le centre O est son propre symétrique (O' = O)
Construction : Utiliser le compas pour reporter les distances de part et d'autre de O
Symétrie réciproque : Si A' est le symétrique de A, alors A est le symétrique de A'
Centre de symétrie d'une figure : Point tel que la figure se superpose à elle-même par demi-tour
Figures avec centre : Cercle, rectangle, parallélogramme, losange, carré
Différence avec symétrie axiale : Centrale = demi-tour, Axiale = pliage

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