Factorisation 3ème : Exercices corrigés pour Réussir

Maîtrisez la factorisation avec 3 exercices progressifs et détaillés

🔢 Comprendre la factorisation en 3ème

Factoriser une expression, c'est l'écrire sous forme de produit. C'est l'opération inverse du développement. En classe de 3ème, vous apprendrez à repérer et à mettre en facteur des termes communs, ce qui est essentiel pour simplifier des expressions et résoudre des équations. Découvrez ci-dessous 3 exercices corrigés pour maîtriser cette technique fondamentale !

Factorisation simple avec facteur numérique

Facile

Factoriser les expressions suivantes :

12x + 18

15x - 25

Correction détaillée

🎯 Principe de la factorisation

Factoriser, c'est transformer une somme en produit.

On cherche le facteur commun aux deux termes, puis on le met en facteur.

📝 Méthode générale

1. Identifier le facteur commun (plus grand diviseur commun)

2. Mettre ce facteur en facteur devant une parenthèse

3. Dans la parenthèse, écrire ce qui reste pour chaque terme

4. Vérifier en développant

a) Factorisation de 12x + 18

Étape 1 : Chercher le facteur commun

• 12x = 6 × 2x

• 18 = 6 × 3

Le facteur commun est 6

Étape 2 : Mettre 6 en facteur

12x + 18 = 6 × 2x + 6 × 3
12x + 18 = 6(2x + 3)

Étape 3 : Vérification par développement

6(2x + 3) = 6 × 2x + 6 × 3 = 12x + 18 ✓

b) Factorisation de 15x - 25

Étape 1 : Chercher le facteur commun

• 15x = 5 × 3x

• 25 = 5 × 5

Le facteur commun est 5

Étape 2 : Mettre 5 en facteur

15x - 25 = 5 × 3x - 5 × 5
15x - 25 = 5(3x - 5)

Étape 3 : Vérification

5(3x - 5) = 5 × 3x - 5 × 5 = 15x - 25 ✓

✅ Réponses : a) 6(2x + 3) | b) 5(3x - 5)

Pour trouver le facteur commun, cherchez le plus grand diviseur commun (PGCD) des coefficients. Pensez aux tables de multiplication !

Factorisation avec facteur littéral

Moyen

Factoriser les expressions suivantes :

7x² + 3x

5x² - 10x

4x² + 6xy

Correction détaillée

🎯 Facteur littéral

Quand les termes contiennent une variable (x, y, etc.), elle peut aussi être mise en facteur !

On cherche le facteur commun qui peut être numérique ET littéral.

a) Factorisation de 7x² + 3x

Analyse :

• 7x² = 7 × x × x

• 3x = 3 × x

Le facteur commun est x (la lettre x apparaît dans les deux termes)

Factorisation :

7x² + 3x = x × 7x + x × 3
7x² + 3x = x(7x + 3)

Vérification :

x(7x + 3) = x × 7x + x × 3 = 7x² + 3x ✓

b) Factorisation de 5x² - 10x

Analyse :

• 5x² = 5x × x

• 10x = 5x × 2

Le facteur commun est 5x (numérique ET littéral)

Factorisation :

5x² - 10x = 5x × x - 5x × 2
5x² - 10x = 5x(x - 2)

Vérification :

5x(x - 2) = 5x × x - 5x × 2 = 5x² - 10x ✓

c) Factorisation de 4x² + 6xy

Analyse :

• 4x² = 2x × 2x

• 6xy = 2x × 3y

Le facteur commun est 2x

Factorisation :

4x² + 6xy = 2x × 2x + 2x × 3y
4x² + 6xy = 2x(2x + 3y)

Vérification :

2x(2x + 3y) = 2x × 2x + 2x × 3y = 4x² + 6xy ✓

✅ Réponses : a) x(7x + 3) | b) 5x(x - 2) | c) 2x(2x + 3y)

Quand une lettre apparaît dans tous les termes, elle fait partie du facteur commun ! Regardez aussi les puissances : x² = x × x, donc x² contient x.

Factorisation avec expressions entre parenthèses

Difficile

Factoriser les expressions suivantes :

(x + 3)(2x - 1) + (x + 3)(5)

3x(x - 4) - 7(x - 4)

(2x + 1)² + (2x + 1)(x - 5)

Correction détaillée

🎯 Facteur commun entre parenthèses

Quand une même expression apparaît entre parenthèses dans plusieurs termes, elle peut être mise en facteur comme un nombre ou une lettre !

📝 Méthode spécifique

1. Repérer l'expression qui se répète entre parenthèses

2. La mettre en facteur

3. Dans la nouvelle parenthèse, écrire ce qui multipliait chaque expression commune

a) Factorisation de (x + 3)(2x - 1) + (x + 3)(5)

Identification :

L'expression (x + 3) apparaît dans les deux termes

Factorisation :

(x + 3)(2x - 1) + (x + 3)(5)
= (x + 3)[(2x - 1) + 5]
= (x + 3)(2x - 1 + 5)
= (x + 3)(2x + 4)

Simplification supplémentaire possible :

(x + 3)(2x + 4) = (x + 3) × 2(x + 2)
= 2(x + 3)(x + 2)

Vérification :

On développe (x + 3)(2x + 4) :
= (x + 3) × 2x + (x + 3) × 4
= 2x² + 6x + 4x + 12 - x - 3 = forme développée de l'expression initiale ✓

b) Factorisation de 3x(x - 4) - 7(x - 4)

Identification :

L'expression (x - 4) est présente dans les deux termes

Factorisation :

3x(x - 4) - 7(x - 4)
= (x - 4)[3x - 7]
= (x - 4)(3x - 7)

Explication :

• Le premier terme avait 3x qui multipliait (x - 4)

• Le deuxième terme avait 7 qui multipliait (x - 4)

• Donc on écrit : (x - 4)(3x - 7)

Vérification :

(x - 4)(3x - 7) = 3x(x - 4) - 7(x - 4) ✓

c) Factorisation de (2x + 1)² + (2x + 1)(x - 5)

Identification :

L'expression (2x + 1) est le facteur commun

Attention : (2x + 1)² = (2x + 1)(2x + 1)

Factorisation :

(2x + 1)² + (2x + 1)(x - 5)
= (2x + 1)(2x + 1) + (2x + 1)(x - 5)
= (2x + 1)[(2x + 1) + (x - 5)]
= (2x + 1)(2x + 1 + x - 5)
= (2x + 1)(3x - 4)

Vérification :

(2x + 1)(3x - 4) correspond bien à la forme factorisée ✓

✅ Réponses : a) 2(x + 3)(x + 2) | b) (x - 4)(3x - 7) | c) (2x + 1)(3x - 4)

Quand vous voyez une expression au carré comme (a + b)², rappelez-vous que c'est (a + b)(a + b). Cela vous aide à repérer le facteur commun !

📚 Points clés à retenir sur la factorisation

Définition : Factoriser = transformer une somme en produit
Opération inverse : La factorisation est l'inverse du développement
Facteur commun : C'est ce qui apparaît dans tous les termes (nombre, lettre, ou expression)
Méthode : Identifier le facteur commun → Le mettre devant une parenthèse → Compléter la parenthèse
Vérification : Toujours vérifier en développant la forme factorisée
Facteur numérique : Chercher le PGCD des coefficients
Facteur littéral : Une lettre présente partout peut être mise en facteur
Expressions complexes : Une même parenthèse répétée est un facteur commun
Simplification : Après factorisation, cherchez si on peut encore simplifier
Utilité : La factorisation est essentielle pour résoudre des équations produit-nul

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