Exercice Trigonométrie 3ème : 3 exercices corrigés détaillés

Maîtrisez les rapports trigonométriques avec 3 exercices progressifs et détaillés

📐 Comprendre la trigonométrie en 3ème

La trigonométrie étudie les relations entre les angles et les côtés d'un triangle rectangle. En classe de 3ème, vous découvrirez trois rapports fondamentaux : le cosinus, le sinus et la tangente. Ces outils mathématiques vous permettront de calculer des longueurs et des angles dans des situations concrètes. Découvrez ci-dessous 3 exercices corrigés pour maîtriser ces notions essentielles !

🎯 SOHCAHTOA - Le moyen mnémotechnique

Sinus = Opposé / Hypoténuse
Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
Tangente = Opposé / Adjacent

Calculer une longueur avec le cosinus

Facile

📐 Triangle ABC rectangle en B

On considère le triangle ABC rectangle en B tel que :

Données :
• L'angle BAC = 35°
• AC = 8 cm (hypoténuse)

Question : Calculer la longueur AB (arrondie au dixième).

Correction détaillée

🎯 Analyse de la situation

Dans le triangle ABC rectangle en B :

• AC est l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit)

• AB est le côté adjacent à l'angle de 35°

• On connaît l'hypoténuse et l'angle

• On cherche le côté adjacent

📐 Formule du cosinus

cos(angle) = Adjacent / Hypoténuse

Dans notre cas :

cos(BAC) = AB / AC

Étape 1 : Écrire la relation trigonométrique

cos(35°) = AB / AC
cos(35°) = AB / 8

Étape 2 : Isoler AB

On multiplie les deux côtés par 8 :

AB = 8 × cos(35°)

Étape 3 : Calculer avec la calculatrice

⚠️ Important : Vérifiez que votre calculatrice est en mode DEGRÉ (pas en radian)

cos(35°) ≈ 0,8192
AB = 8 × 0,8192
AB ≈ 6,5536
AB ≈ 6,6 cm (arrondi au dixième)

✅ Réponse : AB ≈ 6,6 cm

Pour retenir : le COSinus utilise le côté ADjacent. Pensez à "COS = ADj" ! Quand vous connaissez l'hypoténuse et un angle, utilisez cosinus ou sinus selon le côté recherché.

Calculer un angle avec la tangente

Moyen

📐 Triangle DEF rectangle en E

On considère le triangle DEF rectangle en E tel que :

Données :
• EF = 6 cm (côté opposé à l'angle D)
• DE = 4 cm (côté adjacent à l'angle D)

Question : Calculer la mesure de l'angle EDF (arrondie au degré).

Correction détaillée

🎯 Analyse de la situation

Dans le triangle DEF rectangle en E :

• Par rapport à l'angle D :

- EF est le côté opposé (6 cm)

- DE est le côté adjacent (4 cm)

• On connaît les deux côtés de l'angle droit

• On cherche la mesure de l'angle

📐 Formule de la tangente

tan(angle) = Opposé / Adjacent

Dans notre cas :

tan(EDF) = EF / DE

Étape 1 : Écrire la relation

tan(EDF) = EF / DE
tan(EDF) = 6 / 4
tan(EDF) = 1,5

Étape 2 : Utiliser la fonction réciproque

Pour trouver l'angle à partir de sa tangente, on utilise tan⁻¹ (ou arctan) :

📝 Sur la calculatrice

• Cherchez la touche "tan⁻¹" ou "arctan" (souvent en 2nde fonction)

• Tapez : tan⁻¹(1,5)

• Vérifiez le mode DEGRÉ

EDF = tan⁻¹(1,5)
EDF ≈ 56,31°
EDF ≈ 56° (arrondi au degré)

Étape 3 : Vérification de cohérence

L'angle trouvé est compris entre 0° et 90°, ce qui est cohérent pour un angle aigu d'un triangle rectangle ✓

De plus, comme le côté opposé (6) est plus grand que le côté adjacent (4), l'angle doit être supérieur à 45°, ce qui est le cas ✓

✅ Réponse : EDF ≈ 56°

La tangente est parfaite quand vous connaissez les deux côtés de l'angle droit ! Pas besoin de l'hypoténuse. Pour retrouver l'angle, utilisez tan⁻¹ (la fonction réciproque).

Problème complet avec le sinus

Difficile

📐 Triangle MNP rectangle en N

Une échelle de 6 mètres est appuyée contre un mur. Elle forme un angle de 65° avec le sol.

Données :
• Longueur de l'échelle (MP) = 6 m
• Angle avec le sol (PMN) = 65°
• Le triangle est rectangle (le mur est perpendiculaire au sol)

Questions :

a) À quelle hauteur l'échelle touche-t-elle le mur ? (arrondir au centième)

b) À quelle distance du mur se trouve le pied de l'échelle ? (arrondir au centième)

Correction détaillée

🎯 Modélisation du problème

On modélise la situation par un triangle MNP rectangle en N où :

• M = pied de l'échelle (sur le sol)

• N = base du mur (angle droit)

• P = point où l'échelle touche le mur

• MP = l'échelle = 6 m (hypoténuse)

• Angle PMN = 65°

a) Hauteur où l'échelle touche le mur (NP)

Analyse :

• Par rapport à l'angle de 65° :

- NP est le côté opposé

- MP est l'hypoténuse (6 m)

• On utilise donc le sinus

📐 Formule du sinus

sin(angle) = Opposé / Hypoténuse

sin(65°) = NP / MP

Calcul :

sin(65°) = NP / 6
NP = 6 × sin(65°)
NP = 6 × 0,9063
NP ≈ 5,44 m

L'échelle touche le mur à une hauteur de 5,44 m

b) Distance du pied de l'échelle au mur (MN)

Analyse :

• Par rapport à l'angle de 65° :

- MN est le côté adjacent

- MP est l'hypoténuse (6 m)

• On utilise donc le cosinus

📐 Formule du cosinus

cos(angle) = Adjacent / Hypoténuse

cos(65°) = MN / MP

Calcul :

cos(65°) = MN / 6
MN = 6 × cos(65°)
MN = 6 × 0,4226
MN ≈ 2,54 m

Le pied de l'échelle est à 2,54 m du mur

Vérification avec Pythagore

On peut vérifier notre résultat avec le théorème de Pythagore :

MN² + NP² = MP²
2,54² + 5,44² ≈ 6²
6,45 + 29,59 ≈ 36
36,04 ≈ 36 ✓

Les petites différences viennent des arrondis. Le résultat est cohérent !

✅ Réponses : a) Hauteur : 5,44 m | b) Distance au mur : 2,54 m

Dans un problème concret, commencez par faire un schéma ! Identifiez l'hypoténuse (côté le plus long, opposé à l'angle droit), puis déterminez quel rapport utiliser : sinus (opposé/hypoténuse), cosinus (adjacent/hypoténuse) ou tangente (opposé/adjacent).

📚 Points clés à retenir sur la trigonométrie

Triangle rectangle : La trigonométrie ne s'applique qu'aux triangles rectangles
Hypoténuse : Le côté le plus long, opposé à l'angle droit
Côté opposé : Le côté en face de l'angle considéré
Côté adjacent : Le côté à côté de l'angle considéré (qui n'est pas l'hypoténuse)
Sinus : sin(angle) = Opposé / Hypoténuse (pour calculer un côté opposé ou un angle)
Cosinus : cos(angle) = Adjacent / Hypoténuse (pour calculer un côté adjacent ou un angle)
Tangente : tan(angle) = Opposé / Adjacent (quand on ne connaît pas l'hypoténuse)
Mnémonique SOHCAHTOA : Sinus=Opposé/Hypoténuse, Cosinus=Adjacent/Hypoténuse, Tangente=Opposé/Adjacent
Fonctions réciproques : sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ pour trouver un angle à partir d'un rapport
Calculatrice : Toujours vérifier que vous êtes en mode DEGRÉ (pas radian) !
Arrondis : Suivre les consignes de l'énoncé (au dixième, au centième, au degré...)
Vérification : Utiliser Pythagore pour vérifier les longueurs trouvées

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