Exercice Théorème de Thalès 3ème : 3 exercices corrigés

Maîtrisez le théorème de Thalès avec 3 exercices progressifs et détaillés

📐 Comprendre le théorème de Thalès en 3ème

Le théorème de Thalès est un outil puissant pour calculer des longueurs dans des configurations de droites parallèles. En classe de 3ème, vous apprendrez à reconnaître les configurations de Thalès, à appliquer le théorème pour calculer des longueurs manquantes, et à utiliser la réciproque pour démontrer que des droites sont parallèles. Découvrez ci-dessous 3 exercices corrigés pour maîtriser ce théorème fondamental !

📏 Théorème de Thalès

Si deux droites sont parallèles, alors on a l'égalité des rapports :

OA / OA' = OB / OB' = AB / A'B'

où (AB) et (A'B') sont parallèles

Configuration en papillon - Calculer une longueur

Facile

📐 Configuration

Les droites (AB) et (DE) sont parallèles.

Les droites (AD) et (BE) se coupent en C.

Données :
• CA = 4 cm
• CD = 6 cm
• CB = 3 cm
• AB = 5 cm

Question : Calculer la longueur CE (arrondie au dixième).

Correction détaillée

🎯 Vérification des conditions

Pour appliquer le théorème de Thalès, il faut vérifier :

• Deux droites parallèles : (AB) // (DE) ✓
• Deux sécantes qui se coupent en un point : (AD) et (BE) se coupent en C ✓

Les conditions sont remplies, on peut appliquer Thalès !

Étape 1 : Identifier la configuration

On a une configuration en papillon :

• Point C au milieu

• (AB) et (DE) parallèles de part et d'autre de C

• On connaît : CA, CD, CB, AB

• On cherche : CE

Étape 2 : Écrire l'égalité de Thalès

Dans cette configuration, le théorème de Thalès s'écrit :

CA / CD = CB / CE = AB / DE

On va utiliser les deux premiers rapports car on connaît CA, CD, CB et on cherche CE.

Étape 3 : Appliquer l'égalité

CA / CD = CB / CE
4 / 6 = 3 / CE

Étape 4 : Résoudre l'équation (produit en croix)

📝 Produit en croix

Si a/b = c/d alors a × d = b × c

4 / 6 = 3 / CE
4 × CE = 6 × 3
4 × CE = 18
CE = 18 / 4
CE = 4,5 cm

Étape 5 : Vérification

On vérifie que les rapports sont égaux :

CA / CD = 4 / 6 = 2/3 ≈ 0,667
CB / CE = 3 / 4,5 = 2/3 ≈ 0,667 ✓

✅ Réponse : CE = 4,5 cm

Dans une configuration en papillon, faites bien attention à l'ordre des points ! Le point d'intersection C est toujours "au milieu" des rapports : CA/CD et CB/CE (et non CD/CA).

Configuration en triangle - Calcul de deux longueurs

Moyen

📐 Configuration

ABC est un triangle.

M est un point de [AB] et N est un point de [AC].

Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Données :
• AM = 3 cm
• AB = 7 cm
• AC = 8 cm
• BC = 6 cm

Questions :

a) Calculer AN (arrondir au dixième).

b) Calculer MN (arrondir au dixième).

Correction détaillée

🎯 Analyse de la configuration

On a une configuration en triangle :

• Triangle ABC avec un sommet commun A

• M sur [AB] et N sur [AC]

• (MN) // (BC)

C'est la configuration classique de Thalès !

Étape 1 : Écrire l'égalité de Thalès

Dans un triangle avec (MN) // (BC), le théorème s'écrit :

AM / AB = AN / AC = MN / BC

a) Calcul de AN

On utilise les deux premiers rapports :

AM / AB = AN / AC
3 / 7 = AN / 8

Produit en croix :

3 × 8 = 7 × AN
24 = 7 × AN
AN = 24 / 7
AN ≈ 3,4 cm (arrondi au dixième)

b) Calcul de MN

On utilise maintenant le premier et le troisième rapport :

AM / AB = MN / BC
3 / 7 = MN / 6

Produit en croix :

3 × 6 = 7 × MN
18 = 7 × MN
MN = 18 / 7
MN ≈ 2,6 cm (arrondi au dixième)

Vérification globale

Vérifions que les trois rapports sont égaux :

AM / AB = 3 / 7 ≈ 0,429
AN / AC = 3,43 / 8 ≈ 0,429
MN / BC = 2,57 / 6 ≈ 0,428
Les petites différences viennent des arrondis ✓

✅ Réponses : a) AN ≈ 3,4 cm | b) MN ≈ 2,6 cm

Dans une configuration en triangle, tous les rapports partent du même sommet (ici A). C'est plus simple que la configuration en papillon ! Pensez toujours à faire un schéma pour bien visualiser.

Réciproque du théorème de Thalès

Difficile

📐 Configuration

ABC est un triangle.

M est un point de [AB] et N est un point de [AC].

Données :
• AM = 4 cm
• MB = 6 cm
• AN = 3,6 cm
• NC = 5,4 cm

Question : Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier.

Correction détaillée

🔄 Réciproque du théorème de Thalès

Si dans un triangle ABC, avec M sur [AB] et N sur [AC], on a :

AM / AB = AN / AC

Alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

🎯 Stratégie

Pour démontrer que deux droites sont parallèles, on va :

1. Calculer les longueurs AB et AC

2. Calculer les rapports AM/AB et AN/AC

3. Comparer ces rapports

4. Conclure

Étape 1 : Calculer AB et AC

Calcul de AB :

AB = AM + MB
AB = 4 + 6
AB = 10 cm

Calcul de AC :

AC = AN + NC
AC = 3,6 + 5,4
AC = 9 cm

Étape 2 : Calculer le rapport AM/AB

AM / AB = 4 / 10 = 2 / 5 = 0,4

Étape 3 : Calculer le rapport AN/AC

AN / AC = 3,6 / 9 = 36 / 90 = 2 / 5 = 0,4

Étape 4 : Comparaison des rapports

AM / AB = 2/5
AN / AC = 2/5

Donc : AM / AB = AN / AC

Étape 5 : Conclusion

📝 Rédaction de la conclusion

Dans le triangle ABC :

• M appartient à [AB] et N appartient à [AC]

• AM/AB = AN/AC = 2/5

• Les points sont alignés dans le même ordre

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

✅ Réponse : Oui, (MN) // (BC) d'après la réciproque de Thalès

Pour utiliser la réciproque de Thalès, il faut impérativement que les rapports soient ÉGAUX. Si AM/AB ≠ AN/AC, alors les droites ne sont PAS parallèles. Attention à bien calculer et simplifier les fractions !

Contre-exemple : Si on avait trouvé AM/AB = 0,4 et AN/AC = 0,45, alors les rapports seraient différents et on ne pourrait PAS conclure au parallélisme. On écrirait : "AM/AB ≠ AN/AC donc d'après la contraposée du théorème de Thalès, (MN) et (BC) ne sont pas parallèles."

📚 Points clés à retenir sur le théorème de Thalès

Théorème direct : Si deux droites sont parallèles, alors on a l'égalité des rapports
Configuration en papillon : Point d'intersection au milieu, parallèles de part et d'autre
Configuration en triangle : Triangle avec une droite parallèle à un côté
Égalité des rapports : OA/OA' = OB/OB' = AB/A'B' (tous les rapports sont égaux)
Produit en croix : Si a/b = c/d alors a×d = b×c (très utile pour résoudre)
Ordre des points : Respecter l'ordre des points dans les rapports (crucial !)
Réciproque : Si les rapports sont égaux, alors les droites sont parallèles
Contraposée : Si les rapports sont différents, alors les droites ne sont PAS parallèles
Conditions d'application : Deux droites sécantes + deux droites parallèles
Schéma obligatoire : Toujours faire un schéma pour identifier la configuration
Vérification : Vérifier que les rapports sont bien égaux (calcul de contrôle)
Rédaction : Pour la réciproque, toujours rédiger la conclusion complète

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