Exercices de géométrie dans l'espace : méthode et corrections

La géométrie dans l'espace est souvent redoutée au bac. Entre les droites qui se croisent (ou pas), les plans qui s'intersectent et les vecteurs dans toutes les directions, il est facile de s'y perdre ! Pourtant, avec une méthode claire et des exercices bien choisis, vous allez voir que c'est plus simple que vous ne le pensez.

Ce que vous devez maîtriser :

  • Les droites et plans dans l'espace
  • Les vecteurs et leurs opérations
  • Les intersections et positions relatives
  • Les projections orthogonales

Les bases de la géométrie dans l'espace à connaître

1. Les vecteurs dans l'espace

  • Un vecteur a trois coordonnées : v(x,y,z)
  • Le produit scalaire : u·v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂
  • Pour l'orthogonalité : u·v = 0

2. Les droites

  • Représentation paramétrique : x = at + x₀, y = bt + y₀, z = ct + z₀
  • Vecteur directeur : u(a,b,c)
  • Droites parallèles : vecteurs directeurs colinéaires

3. Les plans

  • Équation cartésienne : ax + by + cz + d = 0
  • Vecteur normal : n(a,b,c)
  • Plans parallèles : vecteurs normaux colinéaires

Exercices de géométrie dans l'espace : méthode et corrections

Entre les vecteurs qui se croisent, les plans qui s'intersectent et les droites parallèles, la géométrie dans l'espace peut vite donner le tournis ! Pourtant, pas de panique : avec la bonne méthode et des exercices adaptés, vous allez voir que ce chapitre peut devenir l'un de vos points forts au bac.

Exercice 1 : Positions relatives de deux droites

Énoncé : Dans un repère orthonormé (O,i,j,k), on considère :

  • La droite D1 : x = 2t, y = t, z = -t
  • La droite D2 : x = s+1, y = 2s, z = -s+2
  1. Déterminer si ces droites sont parallèles
  2. Si non, sont-elles sécantes ?

Correction détaillée :

  1. Étude du parallélisme
    • Vecteur directeur de D1 : u1(2,1,-1)
    • Vecteur directeur de D2 : u2(1,2,-1)
    • Ces vecteurs ne sont pas colinéaires car 2/1 ≠ 1/2
    • Donc les droites ne sont pas parallèles
  2. Recherche d'intersection
    • Pour qu'il y ait intersection : 2t = s+1 t = 2s -t = -s+2
    • En remplaçant t par 2s dans la dernière équation : -2s = -s+2 -s = 2 s = -2
    • En vérifiant avec t = -4 : Les égalités ne sont pas vérifiées
    • Conclusion : les droites sont non coplanaires

Exercice 2 : Plan et droite

Énoncé : On donne le plan P : 2x - y + 3z = 4 et la droite D définie par :

  • x = t
  • y = 2t + 1
  • z = -t + 2
  1. La droite est-elle parallèle au plan ?
  2. Si non, calculer les coordonnées du point d'intersection.

Correction détaillée :

  1. Test de parallélisme
    • Vecteur directeur de D : v(1,2,-1)
    • Vecteur normal au plan : n(2,-1,3)
    • Produit scalaire : v·n = 2(1) + (-1)(2) + 3(-1) = -3 ≠ 0
    • Donc D n'est pas parallèle à P
  2. Point d'intersection
    • On remplace x, y, z dans l'équation du plan :
    • 2(t) - (2t + 1) + 3(-t + 2) = 4
    • 2t - 2t - 1 - 3t + 6 = 4
    • -3t + 5 = 4
    • -3t = -1
    • t = 1/3
    • Les coordonnées du point sont (1/3, 5/3, 5/3)

Exercice 3 : Intersection de plans

Énoncé : On considère les plans suivants :

  • P1 : x + 2y - z = 1
  • P2 : 2x - y + z = 3
  1. Ces plans sont-ils parallèles ?
  2. Si non, déterminer la droite d'intersection.

Correction détaillée :

  1. Test de parallélisme
    • Vecteur normal à P1 : n1(1,2,-1)
    • Vecteur normal à P2 : n2(2,-1,1)
    • Ces vecteurs ne sont pas colinéaires car 1/2 ≠ 2/-1
    • Les plans ne sont pas parallèles
  2. Droite d'intersection
    • Vecteur directeur : u = n1 ∧ n2
    • u = (2×1-(-1)×(-1), -1×1-2×2, 2×2-1×(-1))
    • u = (1,-5,5)
    • Un point de la droite : résoudre le système x + 2y - z = 1 2x - y + z = 3
    • Par combinaison : 3x + y = 4
    • Point A(1,1,2) solution particulière
    • Équations paramétriques de la droite : x = 1 + t y = 1 - 5t z = 2 + 5t

Méthode à retenir

Pour réussir ces exercices :

  • Identifiez bien le type de question (parallélisme, intersection...)
  • Utilisez les vecteurs directeurs/normaux
  • Résolvez les systèmes d'équations méthodiquement
  • Vérifiez toujours vos résultats

La clé du succès en géométrie dans l'espace, c'est la méthode. Après avoir pratiqué ces exercices, vous devriez être capable de :

  • Analyser rapidement les positions relatives
  • Calculer des intersections
  • Utiliser efficacement les vecteurs

N'oubliez pas : entraînez-vous régulièrement avec des exercices variés pour être prêt le jour du bac !

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