Arithmétique 3ème : 3 exercices corrigés pour progresser

Maîtrisez les diviseurs, PGCD et nombres premiers avec 3 exercices progressifs et détaillés

🔢 Comprendre l'arithmétique en 3ème

L'arithmétique est la branche des mathématiques qui étudie les propriétés des nombres entiers. En classe de 3ème, vous apprendrez à travailler avec les diviseurs, à calculer le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) et le PPCM (Plus Petit Commun Multiple), à identifier les nombres premiers et à utiliser l'algorithme d'Euclide. Ces notions sont fondamentales pour simplifier des fractions et résoudre des problèmes concrets. Découvrez ci-dessous 3 exercices corrigés pour maîtriser l'arithmétique !

Diviseurs et PGCD

Facile

On considère les nombres suivants :

48 et 36

Questions :

a) Donner la liste de tous les diviseurs de 48.

b) Donner la liste de tous les diviseurs de 36.

c) En déduire le PGCD de 48 et 36.

Correction détaillée

📖 Définition : Diviseur

Un nombre d est un diviseur de n si la division de n par d donne un résultat entier (reste = 0).

Exemple : 4 est un diviseur de 12 car 12 ÷ 4 = 3 (nombre entier)

a) Diviseurs de 48

Méthode : On cherche tous les nombres qui divisent 48 sans reste.

On teste systématiquement :

48 ÷ 1 = 48 ✓ → 1 et 48 sont diviseurs
48 ÷ 2 = 24 ✓ → 2 et 24 sont diviseurs
48 ÷ 3 = 16 ✓ → 3 et 16 sont diviseurs
48 ÷ 4 = 12 ✓ → 4 et 12 sont diviseurs
48 ÷ 6 = 8 ✓ → 6 et 8 sont diviseurs
(On s'arrête quand les nombres se répètent)

Diviseurs de 48 :
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}

b) Diviseurs de 36

On procède de la même manière :

36 ÷ 1 = 36 ✓ → 1 et 36 sont diviseurs
36 ÷ 2 = 18 ✓ → 2 et 18 sont diviseurs
36 ÷ 3 = 12 ✓ → 3 et 12 sont diviseurs
36 ÷ 4 = 9 ✓ → 4 et 9 sont diviseurs
36 ÷ 6 = 6 ✓ → 6 est diviseur

Diviseurs de 36 :
{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

c) PGCD de 48 et 36

📖 Définition : PGCD

Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux nombres est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres.

Méthode : On cherche les diviseurs communs aux deux nombres

Diviseurs communs à 48 et 36 :
{1, 2, 3, 4, 6, 12}

Le plus grand diviseur commun est 12

PGCD(48, 36) = 12

✅ Réponses : a) {1,2,3,4,6,8,12,16,24,48} | b) {1,2,3,4,6,9,12,18,36} | c) PGCD = 12

Pour trouver les diviseurs, testez tous les nombres de 1 jusqu'à la racine carrée du nombre. Chaque diviseur trouvé vous donne automatiquement son "jumeau" (exemple : si 3 divise 48, alors 48÷3=16 divise aussi 48).

Algorithme d'Euclide

Moyen

Calculer le PGCD des nombres suivants en utilisant l'algorithme d'Euclide :

378 et 156

Bonus : Simplifier la fraction 378/156 en utilisant le PGCD trouvé.

Correction détaillée

🔄 Algorithme d'Euclide

Principe : On effectue des divisions euclidiennes successives jusqu'à obtenir un reste nul.

Le dernier reste non nul est le PGCD.

Étape 1 : Première division euclidienne

On divise le plus grand nombre par le plus petit :

378 ÷ 156 = 2 reste 66

Vérification : 378 = 156 × 2 + 66 ✓

Étape 2 : Deuxième division

On divise le diviseur précédent (156) par le reste précédent (66) :

156 ÷ 66 = 2 reste 24

Vérification : 156 = 66 × 2 + 24 ✓

Étape 3 : Troisième division

On continue : 66 ÷ 24

66 ÷ 24 = 2 reste 18

Vérification : 66 = 24 × 2 + 18 ✓

Étape 4 : Quatrième division

On continue : 24 ÷ 18

24 ÷ 18 = 1 reste 6

Vérification : 24 = 18 × 1 + 6 ✓

Étape 5 : Cinquième division

On continue : 18 ÷ 6

18 ÷ 6 = 3 reste 0

Le reste est 0, on s'arrête !

Le dernier reste non nul était 6

Conclusion

PGCD(378, 156) = 6

Bonus : Simplification de la fraction

Pour simplifier 378/156, on divise le numérateur et le dénominateur par le PGCD :

378 ÷ 6 = 63
156 ÷ 6 = 26

378/156 = 63/26

On vérifie si 63/26 est irréductible :

PGCD(63, 26) = 1 (ils sont premiers entre eux)

La fraction 63/26 est irréductible.

✅ Réponses : PGCD(378, 156) = 6 | Fraction simplifiée : 63/26

L'algorithme d'Euclide est beaucoup plus rapide que la méthode des diviseurs pour les grands nombres ! Retenez le principe : diviser, garder le reste, recommencer avec le diviseur et le reste, jusqu'à reste nul.

Nombres premiers et décomposition

Difficile

Questions :

a) Le nombre 91 est-il premier ? Justifier.

b) Décomposer 252 en produit de facteurs premiers.

c) Décomposer 180 en produit de facteurs premiers.

d) En déduire le PGCD(252, 180).

Correction détaillée

📖 Définition : Nombre premier

Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.

Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...

a) 91 est-il premier ?

Méthode : On teste la divisibilité par les nombres premiers jusqu'à √91 ≈ 9,5

Nombres premiers à tester : 2, 3, 5, 7

91 ÷ 2 = 45,5 (pas entier)
91 ÷ 3 = 30,33... (pas entier)
91 ÷ 5 = 18,2 (pas entier)
91 ÷ 7 = 13 ✓ (entier !)

Donc 91 = 7 × 13

Conclusion : 91 n'est pas premier car il est divisible par 7 et 13 (en plus de 1 et 91).

b) Décomposition de 252 en facteurs premiers

Méthode : On divise successivement par les nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11...)

252 ÷ 2 = 126
126 ÷ 2 = 63
63 ÷ 2 = non (impair)
63 ÷ 3 = 21
21 ÷ 3 = 7
7 ÷ 7 = 1 (on s'arrête à 1)

Arbre de décomposition :

252 = 2 × 126
= 2 × 2 × 63
= 2 × 2 × 3 × 21
= 2 × 2 × 3 × 3 × 7
= 2² × 3² × 7

Décomposition de 252 : 2² × 3² × 7

c) Décomposition de 180 en facteurs premiers

180 ÷ 2 = 90
90 ÷ 2 = 45
45 ÷ 2 = non (impair)
45 ÷ 3 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1

Arbre de décomposition :

180 = 2 × 90
= 2 × 2 × 45
= 2 × 2 × 3 × 15
= 2 × 2 × 3 × 3 × 5
= 2² × 3² × 5

Décomposition de 180 : 2² × 3² × 5

d) PGCD à partir des décompositions

📝 Méthode

Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs avec leur plus petite puissance.

Comparons les décompositions :

252 = 2² × 3² × 7
180 = 2² × 3² × 5

Facteurs premiers communs :

• 2 apparaît dans les deux (puissance minimale : 2²)

• 3 apparaît dans les deux (puissance minimale : 3²)

• 7 n'apparaît que dans 252

• 5 n'apparaît que dans 180

PGCD(252, 180) = 2² × 3²
= 4 × 9
= 36

✅ Réponses : a) Non, 91=7×13 | b) 2²×3²×7 | c) 2²×3²×5 | d) PGCD = 36

La décomposition en facteurs premiers est très utile pour trouver le PGCD de grands nombres ! On prend les facteurs communs avec la plus petite puissance. C'est plus efficace que l'algorithme d'Euclide quand on a déjà les décompositions.

📚 Points clés à retenir sur l'arithmétique

Diviseur : d divise n si n ÷ d donne un nombre entier (reste = 0)
Multiple : n est un multiple de d si n = d × k (k entier)
PGCD : Plus Grand Commun Diviseur, le plus grand nombre qui divise les deux nombres
PPCM : Plus Petit Commun Multiple, le plus petit multiple commun aux deux nombres
Nombre premier : N'a que deux diviseurs : 1 et lui-même (ex: 2, 3, 5, 7, 11...)
Algorithme d'Euclide : Méthode efficace pour calculer le PGCD par divisions successives
Décomposition en facteurs premiers : Écrire un nombre comme produit de nombres premiers
PGCD par décomposition : Produit des facteurs communs avec la plus petite puissance
Nombres premiers entre eux : Deux nombres dont le PGCD est 1
Fraction irréductible : Fraction dont le numérateur et dénominateur sont premiers entre eux
Simplification de fraction : Diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD

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