Calcul Littéral 3ème : 3 exercices corrigés + identités

Maîtrisez le développement, la réduction et les identités remarquables avec 3 exercices progressifs

🔤 Comprendre le calcul littéral en 3ème

Le calcul littéral consiste à manipuler des expressions contenant des lettres (variables) et des nombres. En classe de 3ème, vous apprendrez à développer des expressions avec la distributivité, à réduire des expressions en regroupant les termes semblables, et à utiliser les identités remarquables. Ces compétences sont essentielles pour résoudre des équations et modéliser des situations. Découvrez ci-dessous 3 exercices corrigés pour maîtriser le calcul littéral !

📐 Règles de base du calcul littéral

Développer : a(b + c) = ab + ac

Réduire : 3x + 5x = 8x (on additionne les coefficients)

Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Développer et réduire une expression

Facile

Développer et réduire les expressions suivantes :

A = 3(2x + 5)

B = 5x + 2(3x - 4)

C = 4(x + 3) - 2(2x - 1)

Correction détaillée

📝 Méthode générale

1. Développer : Supprimer les parenthèses avec la distributivité

2. Réduire : Regrouper les termes semblables (en x, en x², constantes...)

3. Simplifier : Additionner ou soustraire les coefficients

a) Développer et réduire A = 3(2x + 5)

Étape 1 : Développer avec la distributivité

On multiplie 3 par chaque terme de la parenthèse :

A = 3(2x + 5)
A = 3 × 2x + 3 × 5
A = 6x + 15

L'expression est déjà réduite (pas de termes semblables à regrouper).

b) Développer et réduire B = 5x + 2(3x - 4)

Étape 1 : Développer

B = 5x + 2(3x - 4)
B = 5x + 2 × 3x - 2 × 4
B = 5x + 6x - 8

Étape 2 : Réduire (regrouper les termes en x)

B = 5x + 6x - 8
B = (5 + 6)x - 8
B = 11x - 8

c) Développer et réduire C = 4(x + 3) - 2(2x - 1)

Étape 1 : Développer les deux parenthèses

Le signe "-" devant 2(2x - 1) change tous les signes de la parenthèse !

C = 4(x + 3) - 2(2x - 1)
C = 4 × x + 4 × 3 - 2 × 2x - 2 × (-1)
C = 4x + 12 - 4x + 2

Étape 2 : Réduire

On regroupe les termes en x et les constantes :

C = 4x - 4x + 12 + 2
C = (4 - 4)x + 14
C = 0x + 14
C = 14

Les termes en x s'annulent ! Il ne reste qu'une constante.

✅ Réponses : a) A = 6x + 15 | b) B = 11x - 8 | c) C = 14

Attention au signe devant une parenthèse ! Un "-" devant change TOUS les signes à l'intérieur : -(2x - 1) = -2x + 1. C'est l'erreur la plus fréquente en calcul littéral !

Double distributivité

Moyen

Développer et réduire les expressions suivantes :

D = (x + 3)(x + 5)

E = (2x - 1)(3x + 4)

F = (x + 2)(x - 2) + 3x

Correction détaillée

📝 Double distributivité

Pour développer (a + b)(c + d), on multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la deuxième :

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Moyen mnémotechnique : On fait "tous les produits possibles"

a) Développer D = (x + 3)(x + 5)

Méthode détaillée :

D = (x + 3)(x + 5)
D = x × x + x × 5 + 3 × x + 3 × 5
D = x² + 5x + 3x + 15

Réduction :

D = x² + 5x + 3x + 15
D = x² + (5 + 3)x + 15
D = x² + 8x + 15

b) Développer E = (2x - 1)(3x + 4)

Application de la double distributivité :

E = (2x - 1)(3x + 4)
E = 2x × 3x + 2x × 4 + (-1) × 3x + (-1) × 4
E = 6x² + 8x - 3x - 4

Attention aux signes : (-1) × 3x = -3x et (-1) × 4 = -4

Réduction :

E = 6x² + 8x - 3x - 4
E = 6x² + 5x - 4

c) Développer F = (x + 2)(x - 2) + 3x

Étape 1 : Développer (x + 2)(x - 2)

(x + 2)(x - 2) = x × x + x × (-2) + 2 × x + 2 × (-2)
(x + 2)(x - 2) = x² - 2x + 2x - 4
(x + 2)(x - 2) = x² - 4

Remarque : Les termes en x s'annulent ! C'est une identité remarquable.

Étape 2 : Ajouter 3x

F = x² - 4 + 3x
F = x² + 3x - 4

On réordonne par degré décroissant : x², puis x, puis constante.

✅ Réponses : a) D = x² + 8x + 15 | b) E = 6x² + 5x - 4 | c) F = x² + 3x - 4

Pour la double distributivité, pensez à faire 4 produits : Premier×Premier, Premier×Deuxième, Deuxième×Premier, Deuxième×Deuxième. Puis regroupez les termes semblables (en x² ensemble, en x ensemble, constantes ensemble).

Identités remarquables

Difficile

🌟 Les 3 identités remarquables

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

(a + b)(a - b) = a² - b²

Développer en utilisant les identités remarquables :

G = (x + 4)²

H = (3x - 2)²

I = (2x + 5)(2x - 5)

Correction détaillée

🎯 Pourquoi utiliser les identités remarquables ?

Les identités remarquables permettent de développer beaucoup plus rapidement certaines expressions. Au lieu de faire 4 produits, on applique directement la formule !

a) Développer G = (x + 4)²

Identification : C'est la forme (a + b)² avec a = x et b = 4

Application de la formule : (a + b)² = a² + 2ab + b²

G = (x + 4)²
G = x² + 2 × x × 4 + 4²
G = x² + 8x + 16

Vérification par double distributivité :

(x + 4)(x + 4) = x² + 4x + 4x + 16 = x² + 8x + 16 ✓

b) Développer H = (3x - 2)²

Identification : C'est la forme (a - b)² avec a = 3x et b = 2

Application de la formule : (a - b)² = a² - 2ab + b²

H = (3x - 2)²
H = (3x)² - 2 × 3x × 2 + 2²
H = 9x² - 12x + 4

(3x)² = 3² × x² = 9x² et non 3x² ! Il faut mettre le coefficient au carré aussi.

c) Développer I = (2x + 5)(2x - 5)

Identification : C'est la forme (a + b)(a - b) avec a = 2x et b = 5

Les deux termes sont identiques (2x) et seul le signe change !

Application de la formule : (a + b)(a - b) = a² - b²

I = (2x + 5)(2x - 5)
I = (2x)² - 5²
I = 4x² - 25

Remarque : C'est l'identité la plus simple ! Aucun terme en x dans le résultat.

Vérification par double distributivité :

(2x + 5)(2x - 5) = 4x² - 10x + 10x - 25 = 4x² - 25 ✓
Les termes en x (-10x et +10x) s'annulent !

Tableau récapitulatif des identités

(a + b)² : Le double produit est positif (+2ab)

(a - b)² : Le double produit est négatif (-2ab)

(a + b)(a - b) : Résultat sans terme du milieu, seulement a² - b²

✅ Réponses : a) G = x² + 8x + 16 | b) H = 9x² - 12x + 4 | c) I = 4x² - 25

Pour reconnaître une identité remarquable : (1) Carré ? → (a±b)², (2) Deux expressions identiques avec + et - ? → (a+b)(a-b). Mémorisez les formules, elles vous feront gagner beaucoup de temps !

📚 Points clés à retenir sur le calcul littéral

Développer : Transformer un produit en somme (supprimer les parenthèses)
Réduire : Regrouper les termes semblables pour simplifier l'expression
Simple distributivité : a(b + c) = ab + ac
Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (4 produits)
Signe négatif : Un "-" devant une parenthèse change tous les signes : -(a - b) = -a + b
Termes semblables : On peut additionner 3x + 5x = 8x, mais pas 3x + 5x²
Identité 1 : (a + b)² = a² + 2ab + b² (attention au double produit !)
Identité 2 : (a - b)² = a² - 2ab + b² (signe - au milieu)
Identité 3 : (a + b)(a - b) = a² - b² (pas de terme en x)
Carré d'un coefficient : (3x)² = 9x² (pas 3x²)
Ordre de rédaction : Par puissance décroissante (x², puis x, puis constante)
Vérification : On peut toujours vérifier en remplaçant x par une valeur numérique

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