Calcul écart type : formule, étapes et exemples pratiques

L'écart type mesure la dispersion de vos données autour de leur moyenne. Plus il est élevé, plus vos valeurs sont éloignées les unes des autres. C'est un indicateur essentiel pour comprendre si vos données sont homogènes ou dispersées. Que vous travailliez sur une population complète ou un échantillon, le calcul suit une logique simple mais rigoureuse.

Dans ce guide, vous découvrirez les formules exactes, les étapes de calcul détaillées et des exemples concrets pour maîtriser l'écart type. Vous saurez également interpréter les résultats pour prendre des décisions éclairées basées sur vos données.

Pour calculer l'écart type rapidement, voici les éléments essentiels à retenir :

Élément	Population (σ)	Échantillon (s)
Formule	σ = √[Σ(xi - μ)² / N]	s = √[Σ(xi - x̄)² / (n-1)]
Diviseur	N (taille totale)	n-1 (taille - 1)
Moyenne utilisée	μ (moyenne population)	x̄ (moyenne échantillon)
Quand l'utiliser	Données complètes disponibles	Sous-ensemble d'une population
Étapes	1. Moyenne → 2. Écarts → 3. Carrés → 4. Somme → 5. Division → 6. Racine carrée

Quelle est la formule de l'écart type ?

Deux formules existent selon que vous travaillez sur une population complète ou un échantillon.

Pour une population entière (toutes les données disponibles), utilisez σ (sigma) :

σ = √[1/N × Σ(xi - μ)²]

Où N est le nombre total de valeurs, xi représente chaque donnée et μ la moyenne de la population.

Pour un échantillon (sous-ensemble d'une population), utilisez s :

s = √[1/(n-1) × Σ(xi - x̄)²]

Où n est la taille de l'échantillon, xi chaque valeur et x̄ la moyenne de l'échantillon. Le diviseur (n-1) au lieu de n corrige le biais de l'estimation et s'appelle la correction de Bessel.

En pratique, si vous analysez les notes de toute une classe, c'est une population. Si vous étudiez un groupe test représentant une classe plus large, c'est un échantillon.

Quelles sont les étapes pour calculer l'écart type ?

Le calcul se déroule en 6 étapes chronologiques à suivre dans l'ordre.

Étape 1 : Calculez la moyenne de vos données en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par le nombre total.

Étape 2 : Pour chaque donnée, calculez l'écart à la moyenne en faisant (valeur - moyenne).

Étape 3 : Élevez chaque écart au carré pour éliminer les valeurs négatives et accentuer les grandes différences.

Étape 4 : Additionnez tous ces carrés pour obtenir la somme totale.

Étape 5 : Divisez cette somme par N (population) ou (n-1) pour un échantillon. Ce résultat s'appelle la variance.

Étape 6 : Prenez la racine carrée de la variance. Le résultat obtenu est votre écart type.

Cette méthode fonctionne pour toutes les données numériques, qu'il s'agisse de températures, de prix, de notes ou de mesures.

Comment calculer l'écart type avec un exemple concret ?

Prenons les données suivantes : 3, 6, 2, 9, 4. Calculons l'écart type en considérant ces valeurs comme une population complète.

Calcul de la moyenne : (3 + 6 + 2 + 9 + 4) / 5 = 24 / 5 = 4,8

Calcul des écarts à la moyenne :

• 3 - 4,8 = -1,8
• 6 - 4,8 = 1,2
• 2 - 4,8 = -2,8
• 9 - 4,8 = 4,2
• 4 - 4,8 = -0,8

Élévation au carré de chaque écart :

• (-1,8)² = 3,24
• (1,2)² = 1,44
• (-2,8)² = 7,84
• (4,2)² = 17,64
• (-0,8)² = 0,64

Somme des carrés : 3,24 + 1,44 + 7,84 + 17,64 + 0,64 = 30,8

Division par N : 30,8 / 5 = 6,16 (c'est la variance)

Racine carrée : √6,16 ≈ 2,48

L'écart type de cette population est donc 2,48. Si nous avions traité ces données comme un échantillon, nous aurions divisé par 4 au lieu de 5, obtenant √7,7 ≈ 2,77.

Quel est l'écart type de 5, 5, 9, 9, 9, 10, 5, 10, 10 ?

Calculons l'écart type de ces données : 5, 5, 9, 9, 9, 10, 5, 10, 10.

Calcul de la moyenne : (5 + 5 + 9 + 9 + 9 + 10 + 5 + 10 + 10) / 9 = 72 / 9 = 8

Calcul des écarts à la moyenne et des carrés :

• 5 - 8 = -3 → (-3)² = 9
• 5 - 8 = -3 → 9
• 9 - 8 = 1 → 1
• 9 - 8 = 1 → 1
• 9 - 8 = 1 → 1
• 10 - 8 = 2 → 4
• 5 - 8 = -3 → 9
• 10 - 8 = 2 → 4
• 10 - 8 = 2 → 4

Somme des carrés : 9 + 9 + 1 + 1 + 1 + 4 + 9 + 4 + 4 = 42

Résultats selon le contexte :

Si vous considérez ces données comme une population complète : σ = √(42/9) = √4,67 ≈ 2,16

Si vous les traitez comme un échantillon d'une population plus large : s = √(42/8) = √5,25 ≈ 2,29

La réponse dépend donc de votre contexte. Dans la majorité des cas pratiques, vous travaillez sur un échantillon, l'écart type est alors 2,29.

L'écart-type mesure la variabilité des données autour de leur moyenne et s'avère particulièrement utile dans l'analyse de séries temporelles, notamment quand on cherche à interpréter le calcul de taux de croissance et sa régularité. Deux indicateurs statistiques qui s'enrichissent mutuellement pour une analyse complète des tendances observées.

Comment interpréter la valeur de l'écart type ?

L'écart type vous renseigne sur la cohérence de vos données. Un écart type proche de zéro signifie que vos valeurs sont très similaires et regroupées autour de la moyenne. À l'inverse, un écart type élevé indique une forte dispersion avec des valeurs très différentes les unes des autres.

Par exemple, si deux classes ont une moyenne de 12/20 mais que la première a un écart type de 1,5 et la seconde de 4,2, la première classe est homogène (notes similaires) tandis que la seconde est hétérogène (notes très variées).

Dans le cadre d'une distribution normale, l'écart type permet des prédictions précises. Environ 68% des données se trouvent dans l'intervalle [moyenne - 1σ, moyenne + 1σ], 95% dans [moyenne - 2σ, moyenne + 2σ] et 99,7% dans [moyenne - 3σ, moyenne + 3σ].

Si votre écart type égale exactement zéro, toutes vos valeurs sont strictement identiques. Cette situation est rare dans les données réelles mais indique une absence totale de variation.

Comment calculer l'écart type sur Excel ?

Excel propose des formules automatiques pour calculer l'écart type en quelques secondes, sans effectuer manuellement toutes les étapes.

Pour un échantillon (cas le plus fréquent), utilisez la formule : =ECARTYPE.STANDARD(plage) ou =STDEV.S(plage) en version anglaise.

Pour une population complète, utilisez : =ECARTYPE.PEARSON(plage) ou =STDEV.P(plage) en version anglaise.

Exemple pratique : si vos données se trouvent dans les cellules A1 à A9, saisissez dans une cellule vide :

• =ECARTYPE.STANDARD(A1:A9) pour un échantillon
• =ECARTYPE.PEARSON(A1:A9) pour une population

Excel calcule instantanément le résultat. Avec les données 5, 5, 9, 9, 9, 10, 5, 10, 10, la formule =ECARTYPE.STANDARD(A1:A9) renvoie 2,29 et =ECARTYPE.PEARSON(A1:A9) renvoie 2,16.

Vous pouvez également utiliser les anciennes formules =ECARTYPE(plage) pour un échantillon ou =ECARTYPEP(plage) pour une population, bien que Microsoft recommande les versions récentes pour une meilleure précision.

Vous maîtrisez maintenant le calcul et l'interprétation de l'écart type. Cette mesure statistique vous permet d'analyser la dispersion de vos données et de prendre des décisions éclairées basées sur leur homogénéité. Appliquez ces formules à vos propres jeux de données pour quantifier leur variabilité.