A. Introduction
On sait depuis le collège qu’il est possible de construire de nouveaux ensembles de nombres à partir de l’ensemble des entiers naturels .
Ainsi :
L’équation n’a pas de solution dans
mais dans l’ensemble des entiers relatifs ,
L’équation n’as pas de solution dans
mais dans l’ensemble des rationnels ,
L’équation n’a pas de solution dans
mais, dans l’ensemble des réels ,
L’équation n’a pas de solution dans , mais dans l’ensemble des nombres complexes , elle a deux solutions et .
B. Définition et notation
Définition
On nomme l’ensemble des nombres complexes défini par :
Exemple :
Définition :
L’écriture , et étant des réels, s’appelle la forme algébrique du nombre complexe tel que
Le nombre réel s’appelle partie réelle du nombre complexe et on écrit
Le nombre réel s’appelle partie imaginaire du nombre complexe et on écrit
Quand est nul, le nombre complexe s’écrit et on dit que est un imaginaire pur
Si , alors donc est un nombre réel
On note et on le nomme le nombre complexe conjugué de
Remarque :
- contient tous les nombres réels donc
- est un nombre et
- est à la fois un nombre réel et un imaginaire pur
- Si , alors
Exemple :
Déterminer la partie réel, la partie imaginaire et le conjugué du nombre complexe
, et
Exemple :
Déterminer la partie réel, la partie imaginaire et le conjugué du nombre complexe
, et
Exemple :
Déterminer la partie réel, la partie imaginaire et le conjugué du nombre complexe
, et
C. Opérations sur les nombres complexes
Propriété :
Pour tous nombres complexes et , , , et étant des réels, on a :
pour tout réel
si
Exemple :
Calculer , , et pour et
Conséquence :
Tout nombre complexe non nul admet un inverse
Pour tous nombres complexes et , on a
Exemple :
Déterminer la forme algébrique de l’inverse
D. Propriétés
Propriété
Soit un nombre complexe,
Propriété
Soit , deux nombres complexes,
Propriété
Pour tout nombre complexe , tel que :
- Pour tout réel , et pour tout imaginaire pur ,
- , et donc est réel
- ,
- ,
- Pour tout , et
- Pour tout entier ,
Exemple :
Sans chercher la forme algébrique, donner les conjugués de et de avec :
et