A. Définitions

 

Définition

Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 VI. Continuité  est une fonction définie sur un intervalle Mathplace quicklatex.com-28b62e596f9d12da9f03e3e24d226a30_l3 VI. Continuité  et Mathplace quicklatex.com-5cb5e5eb41ae49eacfc4af26b25d6b53_l3 VI. Continuité

  • Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 VI. Continuité  est continue en Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 VI. Continuité  si 
  • Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 VI. Continuité  est continue sur Mathplace quicklatex.com-28b62e596f9d12da9f03e3e24d226a30_l3 VI. Continuité  si elle est continue en tout point Mathplace quicklatex.com-5cb5e5eb41ae49eacfc4af26b25d6b53_l3 VI. Continuité

 

Interprétation graphique :

 

Mathplace cours_tleS_limites06 VI. Continuité

 

Comme on le constate sur la courbe Mathplace quicklatex.com-14e154beff4553c76a34b7ac8ab7c9a5_l3 VI. Continuité  , il y a au voisinage de la valeur Mathplace quicklatex.com-897b1a907e258fe11fc06917581a0cc2_l3 VI. Continuité  une brusque variation. On dit alors que g n’est pas continue sur Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 VI. Continuité

 

Mathplace cours_tleS_limites05 VI. Continuité

 

En revanche, il n’y a pas de variation brutale visible sur la courbe Mathplace quicklatex.com-4e6887e384866ead8e4cd4dea11e4eda_l3 VI. Continuité  . Deux points de la courbe Mathplace quicklatex.com-4e6887e384866ead8e4cd4dea11e4eda_l3 VI. Continuité   sont reliés par une ligne continue, obtenue sans lever le crayon : On dit alors que la fonction f est continue sur Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 VI. Continuité

 

Théorème :

Si Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 VI. Continuité  est dérivable en Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 VI. Continuité  alors Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 VI. Continuité  est continue en Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 VI. Continuité

 

Théorème : 

Toute fonction construite par somme, produit, composée des fonctions usuelles est continue sur tout intervalle où elle est définie.

 

 

B. Théorème des valeurs intermédiaires

 

Théorème des valeurs intermédiaires

Soit Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 VI. Continuité  une fonction définie et continue sur un intervalle Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 VI. Continuité  où Mathplace quicklatex.com-0bfd7d75be26a84f2f1a7ba0899c71f8_l3 VI. Continuité  sont deux réels tels que Mathplace quicklatex.com-6487aa3ccb47a5cb644b2f68543b9868_l3 VI. Continuité  .

Pour tout réel k compris entre Mathplace quicklatex.com-91d2115652711b3fe6474c20eea8ad44_l3 VI. Continuité  et Mathplace quicklatex.com-f270e1ea736840210174bb17f607c51a_l3 VI. Continuité  , l’équation Mathplace quicklatex.com-a459bcad4ed4e0bb1a4b8a86b8574212_l3 VI. Continuité  admet au moins une solution sur l’intervalle Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 VI. Continuité

 

Corollaire (Cas des fonctions strictement monotone sur un intervalle) :

Soit Mathplace quicklatex.com-01c9bfbd63c15e710ed9bdd3694581cd_l3 VI. Continuité  une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 VI. Continuité  où Mathplace quicklatex.com-0bfd7d75be26a84f2f1a7ba0899c71f8_l3 VI. Continuité  sont deux réels tels que Mathplace quicklatex.com-139813192e94b132893033c54bbdb71c_l3 VI. Continuité  .

Pour tout réel k compris entre Mathplace quicklatex.com-91d2115652711b3fe6474c20eea8ad44_l3 VI. Continuité  et Mathplace quicklatex.com-f270e1ea736840210174bb17f607c51a_l3 VI. Continuité  , l’équation Mathplace quicklatex.com-a459bcad4ed4e0bb1a4b8a86b8574212_l3 VI. Continuité  admet une unique solution sur l’intervalle Mathplace quicklatex.com-c89601dbce56588963d190cb0bb6051b_l3 VI. Continuité