I. Graphes probabilistes et matrices de transition

Définition

On appelle graphe probabilisé : un graphe orienté et pondéré dont la somme des poids des arêtes issues de chaque sommet vaut .

 

Exemple

Le graphe suivant est un graphe probabiliste :

 

 

On peut voir qu’il s’agit bien d’un graphe orienter et pondéré et que :

• La somme des poids des arêts issus de est .
• La somme des poids des arêts issus de est .

 

Définition

Etat probabiliste d’un système : C’est la loi de probabilité sur l’ensemble des états possibles au cour d’une étape .
Cette loi est représentée par une matrice ligne dont la somme des termes vaut .

 

Exemple

avec et les probabilités.

Lorsque alors on a :  qui représente l’état probabiliste initial.

 

Définition

Matrice de transition : la matrice de transition d’un graphe probabiliste d’ordre dont les sommets sont numérotés de à est la matrice carrée d’ordre . Où le terme figurant en ligne et colonne est égal au poids de l’arête allant de vers si cette arête existe ou à sinon.

 

Exemple

 

La matrice de ce graphe probabiliste es t:

   

 

Propriété

Si est l’état probabiliste à l’étape et l’état probabiliste initial, alors on a:

   

Où est la matrice de transition du graphe.

 
 
 sinon.

 

Exemple

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