Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Pour tout couple d’entiers relatifs non nuls 
, on note pgcd le plus grand diviseur commun de 
et 
.
Le plan est muni d’un repère 
.
1. Exemple. Soit 
la droite d’équation 
.
a. Montrer que si 
est un couple d’entiers relatifs alors l’entier 
est divisible par 
.
b. Existe-il au moins un point de la droite dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.
Généralisation
On considère désormais une droite 
d’équation 
où 
et 
sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd
.
Ainsi, les coefficients de l’équation 
sont des fractions irréductibles et on dit que est une droite rationnelle.
Le but de l’exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur et pour qu’une droite rationnelle comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.
2. On suppose ici que la droite comporte un point de coordonnées 
où 
et 
sont des entiers relatifs.
a. En remarquant que le nombre 
est un entier relatif, démontrer que divise le produit 
.
b. En déduire que divise 
.
3. Réciproquement, on suppose que divise , et on souhaite trouver un couple d’entiers relatifs tels que
.
a. On pose 
, où 
est un entier relatif non nul. Démontrer qu’on peut trouver deux entiers relatifs 
et 
tels que 
.
b. En déduire qu’il existe un couple d’entiers relatifs tels que 
.
4. Soit la droite d’équation $y = \dfrac{3}{8} x – \dfrac{7}{
