Définition du repère orthonormal

 

Définitions :

Trois points Mathplace quicklatex.com-63fa0213ef7e99c77018f5822ed64924_l3 1. Repérage dans le plan  Mathplace quicklatex.com-28b62e596f9d12da9f03e3e24d226a30_l3 1. Repérage dans le plan  et Mathplace quicklatex.com-996135f56a566439db31703943afea76_l3 1. Repérage dans le plan  , non alignés, forment un repère du plan que l’on note Mathplace quicklatex.com-5112183aa8de5e4c293a0279bf820343_l3 1. Repérage dans le plan  ou Mathplace quicklatex.com-e886bcca3934137041aa97ef5a4200af_l3 1. Repérage dans le plan  . On pose Mathplace quicklatex.com-21a1fc52be35e0bd4b3436c602016281_l3 1. Repérage dans le plan  et Mathplace quicklatex.com-3564bf428b2cb59cac669eaa0a3881f6_l3 1. Repérage dans le plan  .

Le repère se note alors Mathplace quicklatex.com-c27fa5add9f661202233a1c328907c5b_l3 1. Repérage dans le plan  .

 

Mathplace repere1-1024x565 1. Repérage dans le plan

 

  • Si Mathplace quicklatex.com-500453d3e7b1614fdd935d9c3fdcd53f_l3 1. Repérage dans le plan  alors le repère Mathplace quicklatex.com-c27fa5add9f661202233a1c328907c5b_l3 1. Repérage dans le plan  est orthogonal.        

 

Mathplace repere2-1024x519 1. Repérage dans le plan

 

  • Si Mathplace quicklatex.com-500453d3e7b1614fdd935d9c3fdcd53f_l3 1. Repérage dans le plan  et Mathplace quicklatex.com-732926140e24d36b90f40d145b6316bc_l3 1. Repérage dans le plan  alors le repère Mathplace quicklatex.com-c27fa5add9f661202233a1c328907c5b_l3 1. Repérage dans le plan   est orthonormal (ou orthonormé).        

 

Mathplace repere3 1. Repérage dans le plan

 

        Le point Mathplace quicklatex.com-63fa0213ef7e99c77018f5822ed64924_l3 1. Repérage dans le plan  est l’origine du repère.

        La droite Mathplace quicklatex.com-f3bdcd44264b1b853b0a074a7211982c_l3 1. Repérage dans le plan  est appelée axe des abscisses.

        La droite Mathplace quicklatex.com-e83e37749c1cb27089d9a944ed3c84a6_l3 1. Repérage dans le plan  est appelée axe des ordonnées.

 

 

Repérage d’un point

 

Définition

Soit le repère Mathplace quicklatex.com-c27fa5add9f661202233a1c328907c5b_l3 1. Repérage dans le plan  . Tout point Mathplace quicklatex.com-2c8c3703bbb3e5afe2853cae9fc4a248_l3 1. Repérage dans le plan  dans ce repère est repéré par un unique couple de réels Mathplace quicklatex.com-65b4f9d5217e9000f0f24d6043b284db_l3 1. Repérage dans le plan  .

On note Mathplace quicklatex.com-75bf783ddd9965ec0335ccfa65aac5e1_l3 1. Repérage dans le plan   ou Mathplace quicklatex.com-f7fe5f35a772dde7b539258ac6d2a25b_l3 1. Repérage dans le plan  les coordonnées du point Mathplace quicklatex.com-2c8c3703bbb3e5afe2853cae9fc4a248_l3 1. Repérage dans le plan  dans ce repère.

Mathplace quicklatex.com-3b8affa7af0b01fd56bf3b3eed5f262f_l3 1. Repérage dans le plan  est appelé abscisse du point et Mathplace quicklatex.com-f5a74e4bef9e19a7809e20bb596825d7_l3 1. Repérage dans le plan  l’ordonnée du point.

 

Mathplace repere4-1024x577 1. Repérage dans le plan

 

Exemples :

 

Mathplace repere5-1024x577 1. Repérage dans le plan

 

Les coordonnées des points de la figure sont :

Mathplace quicklatex.com-872fadc79263fe63c3da22df85d32e1b_l3 1. Repérage dans le plan  Mathplace quicklatex.com-c42d4bc77d923481540565475034bc42_l3 1. Repérage dans le plan  Mathplace quicklatex.com-2000127db9bc6609dd2e343e1202ae87_l3 1. Repérage dans le plan  Mathplace quicklatex.com-f8d4e4d152e7ab870aabda0678b5efd7_l3 1. Repérage dans le plan  , Mathplace quicklatex.com-7d733bfc2af1c3c1cd8f7c21ce75370a_l3 1. Repérage dans le plan  et Mathplace quicklatex.com-ad6403633ea2d4b2c36ccaf6d855bc3a_l3 1. Repérage dans le plan  .

 

 

Distance entre deux points

 

Théorème :

Dans un repère orthonormal la distance entre deux points Mathplace quicklatex.com-91e3b3a7320d5d33ff19257a0b6a141c_l3 1. Repérage dans le plan  et Mathplace quicklatex.com-1a64be21575f995eca8a53cf85095685_l3 1. Repérage dans le plan   de coordonnées Mathplace quicklatex.com-121b90849837228a86be83b7b84946b8_l3 1. Repérage dans le plan  et Mathplace quicklatex.com-a228588371599090a68c26f4bc185884_l3 1. Repérage dans le plan  est :

Mathplace quicklatex.com-d5647dda46593245187a5f8e1f80398c_l3 1. Repérage dans le plan

 

 

Coordonnées du milieu d’un segment

 

Théorème :

Soient deux points Mathplace quicklatex.com-121b90849837228a86be83b7b84946b8_l3 1. Repérage dans le plan  et Mathplace quicklatex.com-a228588371599090a68c26f4bc185884_l3 1. Repérage dans le plan

Si Mathplace quicklatex.com-28b62e596f9d12da9f03e3e24d226a30_l3 1. Repérage dans le plan  est le milieu du segment Mathplace quicklatex.com-69063f6daf8277296f1732ed8a05f6b3_l3 1. Repérage dans le plan  , alors ses coordonnées sont :

Mathplace quicklatex.com-dffd62ecee9671b928023c0f991c40b5_l3 1. Repérage dans le plan