Exercice 1

begin{center} {Large{textbf{decofourleft~Baccalauréat S Métropole–La Réunion 20 juin 2016~decofourright
}}}

end{center}

vspace{0,5cm}

textbf{textsc{Exercice 1 hfill 6 points}}

textbf{Commun à tous les candidats}

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textbf{Partie A}

medskip

Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées.

La chaîne A produit 40,% des composants et la chaîne B produit le reste.

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Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue par le constructeur. En sortie de chaîne A, 20,% des composants présentent ce défaut alors qu’en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5,%.

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On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine.

On note :

setlengthparindent{8mm}
begin{description}
item[ ] l’évènement og le composant provient de la chaîne A fg
item[ ] l’évènement og le composant provient de la chaîne B fg
item[ ] l’évènement og le composant est sans défaut fg
end{description}
setlengthparindent{0mm}

medskip

begin{enumerate}
item Montrer que la probabilité de l’évènement est .
item Sachant que le composant ne présente pas de défaut, déterminer la probabilité qu’il provienne de la chaîne A. On donnera le résultat à près.
end{enumerate}

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textbf{Partie B}

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Des améliorations apportées à la chaîne A ont eu pour effet d’augmenter la proportion de composants sans défaut.

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Afin d’estimer cette proportion, on prélève au hasard un échantillon de ~composants parmi ceux fabriqués par la chaîne A.

Dans cet échantillon, la fréquence observée de composants sans défaut est de .

medskip

begin{enumerate}
item Déterminer un intervalle de confiance de la proportion au niveau de confiance de 95,%.
item Quelle devrait être la taille minimum de l’échantillon pour qu’un tel intervalle de confiance ait une amplitude maximum de ?
end{enumerate}

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textbf{Partie C}

medskip

La durée de vie, en années, d’un composant électronique fabriqué dans cette usine est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre (où est un nombre réel strictement positif).

On note la fonction densité associée à la variable aléatoire . On rappelle que :

setlengthparindent{8mm}
begin{itemize}
item pour tout nombre réel .
item pour tout nombre réel .
end{itemize}
setlengthparindent{0mm}

medskip

begin{enumerate}
item La courbe représentative de la fonction est donnée ci-dessous.

begin{center}
psset{unit=1cm}
begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(7.5,6.5)
psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,griddots=10](0,0)(8,7)
psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(7.5,6.5)[,-110][,200] psline(3.4,-0.1)(3.4,0.1)
uput[d](3.4,0){}
%uput[d](7.35,0){}uput[l](0,6.35){}
uput[dl](0.6,3.5){blue }
psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7.5}{5 2.71828 0.510826 x mul exp div}
end{pspicture*}
end{center}

begin{enumerate}
item Interpréter graphiquement où .
item Montrer que pour tout nombre réel .
item En déduire que .
end{enumerate}
item On suppose que . Déterminer à près.
item Dans cette question on prend et on arrondit les résultats des probabilités au centième.
begin{enumerate}
item On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine.

Déterminer la probabilité que ce composant fonctionne au moins 5 ans.
item On choisit au hasard un composant parmi ceux qui fonctionnent encore au bout de 2 ans.

Déterminer la probabilité que ce composant ait une durée de vie supérieure à 7 ans.
item Donner l’espérance mathématique E() de la variable aléatoire à l’unité près.

Interpréter ce résultat.
end{enumerate}
end{enumerate}

vspace{0,5cm}

textbf{textsc{Exercice 2 hfill 4 points}}

textbf{Commun à tous les candidats}

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Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé Oijk{} on donne les points :

[text{A}(1~;~2~;~3), text{B}(3~;~0~;~1), text{C}(-1~;~0~;~1), text{D}(2~;~1~;~-1), text{E}(-1~;~-2~;~3) :text{et }: text{F}(- 2~;~-3,4).]

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

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textbf{Affirmation 1 :} Les trois points A, B, et C sont alignés.

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textbf{Affirmation 2 :} Le vecteur est un vecteur normal au plan (ABC).

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textbf{Affirmation 3 :} La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants et leur point d’intersection est le milieu du segment [BC].

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textbf{Affirmation 4 :} Les droites (AB) et (CD) sont sécantes.

vspace{0,5cm}

textbf{textsc{Exercice 3 hfill 5 points}}

textbf{Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité}

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textbf{Partie A}

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Soit la fonction définie sur par

[f(x) = x – ln left(x^2 + 1right).]

begin{enumerate}
item Résoudre dans l’équation : .
item Justifier tous les éléments du tableau de variations ci-dessous à l’exception de la limite de la fonction en que l’on admet.

begin{center}
psset{unit=1cm}
begin{pspicture}(9,3)
psframe(9,3)psline(0,2)(9,2)psline(0,2.5)(9,2.5)psline(1,0)(1,3)
uput[u](0.5,2.4){} uput[u](1.4,2.4){} uput[u](5,2.4){} uput[u](8.5,2.4){}
rput(0.5,2.25){}rput(2.5,2.25){+} rput(5,2.25){0}rput(7,2.25){+}
uput[u](1.5,0){}uput[d](8.5,2){}rput(0.5,1){}
psline{->}(2,0.3)(8,1.7)
end{pspicture}
end{center}

item Montrer que, pour tout réel appartenant à [0~;~1], appartient à [0~;~1].
item On considère l’algorithme suivant :
begin{center}
begin{tabularx}{0.7linewidth}{|l|X|}hline
Variables & et des entiers naturels ;\ hline
Entrée &Saisir la valeur de \ hline
Traitement & prend la valeur \
&Tant que \
&hspace{0,6cm} prend la valeur \
&Fin tant que\ hline
Sortie &Afficher \ hline
end{tabularx}
end{center}
begin{enumerate}
item Que fait cet algorithme ?
item Déterminer la valeur fournie par l’algorithme lorsque la valeur saisie pour est 100.
end{enumerate}
end{enumerate}

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textbf{Partie B}

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Soit la suite définie par et, pour tout entier naturel , .

medskip

begin{enumerate}
item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel , appartient à [0~;~1].
item Étudier les variations de la suite .
item Montrer que la suite est convergente.
item On note sa limite, et on admet que vérifie l’égalité .

En déduire la valeur de .
end{enumerate}

vspace{0,5cm}

textbf{textsc{Exercice 3 hfill 5 points}}

textbf{Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité}

medskip

Pour tout couple d’entiers relatifs non nuls , on note pgcd le plus grand diviseur commun de et .

Le plan est muni d’un repère Oij.

medskip

begin{enumerate}
item Exemple. Soit la droite d’équation .
begin{enumerate}
item Montrer que si est un couple d’entiers relatifs alors l’entier est divisible par .
item Existe-il au moins un point de la droite dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.
end{enumerate}

textbf{Généralisation}

medskip

On considère désormais une droite d’équation où et sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd.

Ainsi, les coefficients de l’équation sont des fractions irréductibles et on dit que est une droite rationnelle.

Le but de l’exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur et pour qu’une droite rationnelle comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.

item On suppose ici que la droite comporte un point de coordonnées où et sont des entiers relatifs.
begin{enumerate}
item En remarquant que le nombre est un entier relatif, démontrer que divise le produit .
item En déduire que divise .
end{enumerate}
item Réciproquement, on suppose que divise , et on souhaite trouver un couple
d’entiers relatifs tels que
.

begin{enumerate}
item On pose , où est un entier relatif non nul. Démontrer qu’on peut trouver deux entiers relatifs et tels que .
item En déduire qu’il existe un couple d’entiers relatifs tels que

.
end{enumerate}
item Soit la droite d’équation . Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier.
item On donne l’algorithme suivant :

begin{center}
begin{tabularx}{linewidth}{|l X|}hline
textbf{Variables :}& : entiers relatifs non nuls, tels que pgcd = pgcd\
& : entier naturel\
textbf{Entrées :} &Saisir les valeurs de \
textbf{Traitement et sorties :}&\
&Si divise alors\
&begin{tabular}{|l}
prend la valeur \
Tant que \ et faire\
hspace{0,5cm}begin{tabular}{|l}
prend la valeur
end{tabular}\
Fin tant que\
Si est entier alors\
hspace{0,5cm}begin{tabular}{|l}
Afficher
end{tabular}\
Sinon\
hspace{0,5cm}begin{tabular}{|l}
Afficher
end{tabular}\
Fin Si\
end{tabular}\
&Sinon\
&begin{tabular}{|l}
Afficher og Pas de solution fg
end{tabular}\
&Fin Si\hline
end{tabularx}
end{center}

begin{enumerate}
item Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de , entiers relatifs non nuls tels que pgcd = pgcd.
item Que permet-il d’obtenir ?
end{enumerate}
end{enumerate}

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textbf{textsc{Exercice 4 hfill 5 points}}

textbf{Commun à tous les candidats}

medskip

parbox{0.4linewidth}{Lors d’un match de rugby, un joueur doit
transformer un essai qui a été marqué au
point E (voir figure ci-contre) situé à
l’extérieur du segment [AB].

La transformation consiste à taper le ballon
par un coup de pied depuis un point T que
le joueur a le droit de choisir n’importe où
sur le segment [EM] perpendiculaire à la
droite (AB) sauf en E. La transformation
est réussie si le ballon passe entre les
poteaux repérés par les points A et B sur la
figure.}hfillparbox{0.57linewidth}{psset{unit=0.6cm}
begin{pspicture}(11.6,8)
psframe(0.5,0)(10.8,7.3)psline(5.65,0)(5.65,7.3)
psline[linestyle=dashed](0.5,0.75)(5.65,0.75)%EM
uput[l](0.5,0.75){E}uput[r](5.65,0.75){M}
uput[l](0.5,3.3){A}uput[l](0.5,3.9){B}uput[ur](2.8,0.75){T}
psline[linestyle=dashed](0.5,3.3)(2.8,0.75)(0.5,3.9)
rput{90}(6,3.65){Ligne médiane}rput{90}(11.2,3.65){Limite du terrain}
uput[u](5.65,7.3){Terrain vu de dessus}
psline(0.35,3.9)(0.65,3.9)psline(0.35,3.3)(0.65,3.3)
psline(10.65,3.9)(10.95,3.9)psline(10.65,3.3)(10.95,3.3)
psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,0.5)(2.8,0.5)uput[d](1.65,0.6){}
end{pspicture}
}

medskip

Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l’angle le plus grand possible.
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Le but de cet exercice est donc de rechercher s’il existe une position du point T sur le segment [EM] pour laquelle l’angle est maximum et, si c’est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle.

Dans toute la suite, on note la longueur ET, qu’on cherche à déterminer.

medskip

Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50 m, EA = 25 m et AB = 5,6 m . On note la mesure en radian de l’angle , la mesure en radian de l’angle et la mesure en radian de l’angle .

medskip

begin{enumerate}
item En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer et en fonction de .

La fonction tangente est définie sur l’intervalle par .
item Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l’intervalle .
item L’angle admet une mesure appartenant à l’intervalle , résultat admis ici, que l’on peut observer sur la figure.

On admet que, pour tous réels et de l’intervalle ,

.

Montrer que .
item L’angle est maximum lorsque sa mesure est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l’intervalle ]0~;~50] de la fonction définie par : .

Montrer qu’il existe une unique valeur de pour laquelle l’angle est maximum et déterminer cette valeur de au mètre près ainsi qu’une mesure de l’angle à radian près.
end{enumerate}
end{document}